forum.zadania.info

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax + \frac{b}{x^2+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Prosta o równaniu \(y = 2\) jest styczna do wykresu funkcji \(y = f(x)\) w punkcie\((1, f(1))\). Uzasadnij, że funkcja \(y = f(x)\) jest rosnąca dla \(x>1\).

\(a = 1\) i \(b = 2\)

\(f(x) = x + \frac{2}{x^2+1}\)

Wyznaczyłam miejsce zerowe tej funkcji \((x+1)(x^2-x+2)=0\) \(\So\) m.z.: \(x=-1\) i na wykresie widać, że funkcja rośnie od \(-1\). Nie jestem pewna, czy jest to dobre uzasadnienie tego, co jest wymagane w treści zadania.

O monotoniczności funkcji decyduje znak pochodnej...
\(f'(x)= \frac{x^4+2x^2-4x+1}{(x^2+1)^2}\\f'(1)=0\\x^4+2x^2-4x+1=0\\(x-1)(x^3+x^2+3x-1)=0\\f'(x)>0 \;\;dla....\)

\(f'(x) > 0\) dla \(x>1\) więc funkcja \(y=f(x)\) jest rosnąca dla \(x>1\).