forum.zadania.info

Od razu zaznaczę, że piszę z pamięci, więc treść może nie brzmieć dosłownie tak samo jak na dzisiejszej maturze próbnej.

Dana jest kula o promieniu R=3. Na kuli tej opisano stożek o możliwie najmniejszej objętości. Oblicz promień podstawy tego stożka oraz jego wysokość, a następnie podaj tę najmniejszą objętość.


Z góry dziękuje za pomoc, na maturze się nie udało dojść do rozwiązania (tak na marginesie to chyba nikomu z klasy), próbowałem kilka układów równań już teraz w domu, niestety również bez skutku. Mimo wszystko zadanie wydaje się łatwe.

\(V(r,h)= \frac{1}{3}\pi r^2h\), przy czym \(h>2R,\ r>R\)
Z podobieństwa trójkątów \(SOQ\) i \(SBP\) mamy:
\(\frac{h-R}{R}= \frac{ \sqrt{r^2+h^2} }{r}\)
stąd \(r^2= \frac{h^2}{ \left(\frac{h}{R}-1 \right) ^2-1 }=\frac{h^2}{ \left( \frac{h}{R}\right) ^2-\frac{2h}{R} }= \frac{1}{ \left( \frac{1}{R}\right) ^2-\frac{2}{hR} }=\frac{R^2}{ 1-\frac{2R}{h} }=\frac{R^2h}{ h-2R }\)
czyli
\(V(h)=\frac{1}{3}\pi R^2 \frac{h^2}{ h-2R }\),
\(V'(h)=\frac{1}{3}\pi R^2 \frac{h(h-4R)}{h-2R }\),
\(V'(h)>0 \iff \frac{1}{3}\pi R^2 \frac{h(h-4R)}{h-2R }>0 \iff h-4R >0\).
Zatem w punkcie \(4R\) pochodna zmienia znak z - na + ,zatem osiąga tam minimum.
Pozostało wyznaczyć \(r(h)\) i \(V(h)\) , a to już łatwo (po prostu podstawić do wzoru).

Trochę spóźnione, ale dzięki!