forum.zadania.info

Wykresy funkcji kwadratowych \(f(x)=3x^2-2mx-m\) oraz \(g(x)=mx^2+x+3\) gdzie \(x \in R\) oraz \(m \neq 0\) przecinają się w dwóch punktach. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których iloraz sumy odciętych tych punktów przez ich iloczyn jest o \(\frac{1}{8}\) mniejszy od największej wartości funkcji \(g\).

Nie potrafię zrobić tego do końca, podejmie się ktoś próby wytłumaczenia?

Odcięte punktów przecięcia są równe, a to znaczy:
\(3x^2-2mx-m=mx^2+x+3\)
\((3-m)x^2-(2m+1)x-(m+3)=0\)
Rozwiązaniami tego równania są odcięte punktów przecięcia \(x_1\) i \(x_2\)
muszą być spełnione takie warunki:
\(\begin{cases} \Delta >0\\m<0\\ \frac{ \frac{2m+1}{3-m} }{ \frac{-(m+3)}{3-m} } + \frac{1}{8} =3- \frac{1}{4m} \end{cases}\)
żeby parabole przecięły się w dwóch punktach
żeby g miała wartość największą
żeby iloraz sumy odciętych tych punktów przez ich iloczyn był o \(\frac{1}{8}\) mniejszy od największej wartości funkcji \(g\) ( o ile się nie mylę , to największą wartością funkcji \(g\) jest \(3- \frac{1}{4m}\) )
Wychodzi mi , że to jest sprzeczne ale pewnie mylę się w rachunkach.

Źle przeniosłem jeden znak podczas porównywania wzorów funkcji, to już jeden błąd.
Największa wartość g też mi inaczej wyszła, mianowicie \(\frac{-1+12m}{4m}\), ale to wydaje mi się, że jest ok, jak to policzyłeś?

\(\frac{-1+12m}{4m}=\frac{-1}{4m}+3=3-\frac{1}{4m}\)

rzeczywiście mylę się w rachunkach , bo to nie jest sprzeczne ale liczy się niepięknie .

masz do tego odpowiedź ?

Czyli chodziło o to, że rozbiłaś ułamek na 2 ułamki? Więc dobrze policzyłem wartość maksymalną tylko podałem ją w innej postaci ?:)

Nie mam odpowiedzi

A ja już mam
\(m=-2\)
Trzeba po prostu cierpliwie policzyć to co napisałam wyżej.

Wyszło mi za 5 razem, zawsze błędy obliczeniowe, dziękuję bardzo za pomoc:) I ostatnie pytanie do tego zadania, jeśli 2 funkcje kwadratowe mają mieć 2 punkty wspólne, to czy zawsze jedna z nich jest parabolą uśmiechniętą a druga smutną? Czy to nie jest reguła?

Nie musi tak być. np \(y=x^2\\y= \frac{1}{2}x^2 +1\)

Przepraszam, że jeszcze raz dopytam.
Założenie M<0 wzięło się z faktu, że funkcja g ma posiadać maksimum?

tak , właśnie dlatego

Dziękuję bardzo za pomoc, wszystko zrozumiałem