forum.zadania.info

Z pudełka, w którym są 2 kule białe i 3 kule czarne, losujemy dwie kule i odkładamy je. Jeżeli wylosowane kule są tego samego koloru,to do pudelka odkładamy 2n+2 kule koloru takiego, jaki miały wylosowane kule. Gdy wylosowano kule różnych kolorów, to do pudełka dokładamy n+1 kul białych i tyle samo kul czarnych. Następnie losujemy jedną kulę z tego pudełka. Wykaż,że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej zależy tylko od początkowej zawartości pudełka.

Białą kulę losujemy z pudełka z prawdopodobieństwem
\(P(A)=\frac{2}{5}\)

Dwie białe kule z pudełka losujemy z prawdopodobieństwem
\(\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{20}\)

W tym wypadku dokładamy 2n+2 białe kule i mamy 2n+2 białe kule i 3 czarne (razem 2n+5 kul).

Dwie czarne kule losujemy z prawdopodobieństwem
\(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}\)

W tym wypadku dokładamy 2n+2 czarne kule i mamy 2 białe kule i 2n+3 czarne (razem 2n+5)

Jedną białą i jedną czarną(mamy tu dwie możliwości) losujemy z prawdopodobieństwem
\(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}\)

W tym wypadku dokładamy n+1 białych i n+1 czarnych kul i mamy n+2 białe i n+3 czarne (razem 2n+5 kul)

Białą kulę losujemy teraz z prawdopodobieństwem:
\(P(B)=\frac{2}{20}\cdot\frac{2n+2}{2n+5}+\frac{6}{20}\cdot\frac{2}{2n+5}+2\cdot\frac{6}{20}\cdot\frac{n+2}{2n+5}=\\=\frac{4n+4+12+12n+24}{20(2n+5)}=\frac{16n+40}{20(2n+5)}=\frac{8(2n+5)}{20(2n+5)}=\frac{2}{5}\)

I widzimy, że P(A)=P(B).