forum.zadania.info

Zad 1
W trójkącie równoramiennym ABC podstawa ma długość x, a kąt przy wierzchołku ma miarę 120 stopni. Na bokach
AB, BC i CA wybrano punkty odpowiednio K, L, M tak, że AK=3KB, BL=2LC, CM=4MA. Oblicz długości boków trójkąta KLM i jego pole
Zad 2
Kąt przy wierzchołku B trójkąta ABC jest równy 60 stopni. Dwusieczne AD i CE przecinają się w punkcie M. Wykaż , że MD=ME

Zad 2
Kąt przy wierzchołku B trójkąta ABC jest równy 60 stopni. Dwusieczne AD i CE przecinają się w punkcie M. Wykaż , że MD=ME


Oznaczenia jak na rysunku.

1. Wyznaczam kąt \(\gamma\)
\(2\alpha+2\gamma+60^o=180^o\)

\(2\alpha+2\gamma=180^o-60^0\)

\(2(\alpha+\gamma)=120^o\ /:2\)

\(\alpha+\gamma=60^o\)

\(\gamma=60^o-\alpha\)

2. Obliczam \(|\angle EMD|\)
Z sumy kątów wewnętrznych trójkąta ADB
\(|\angle ADB|=180^o-\alpha-60^o=120^o-\alpha\)

Z sumy kątów wewnętrznych trójkąta EBC
\(|\angle BEC|=180^o-\gamma-60^o\)

\(|\angle BEC|=120^o-\gamma\)

\(|\angle BEC|=120^o-(60^o-\alpha)\)

\(|\angle BEC|=120^o-60^o+\alpha\)

\(|\angle BEC|=60^o+\alpha\)

Z sumy kątów wewnętrznych EBDM
\(|\angle EMD|=360^o-(|\angle BEC|+60^o+|\angle ADB|)\)

\(|\angle EMD|=360^o-(60^o-\alpha+60^o+120^o+\alpha)\)

\(|\angle EMD|=360^o-240^o\)

\(|\angle EMD|=120^o\)

Na czworokącie EBDM da się więc opisać okrąg

3. Obliczam \(|\angle EOM|\)
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku okręgu.
\(|\angle EOM|=2|\angle EBM|\)

\(|\angle EOM|=2\cdot30^o\)

\(|\angle EOM|=60^o\)

Czyli trójkąt EOM jest równoboczny.
\(|ME|=|OE|=|OM|=r\)

4. Obliczam \(|\angle MOD|\)
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku okręgu.
\(|\angle MOD|=2|\angle MBD|\)

\(|\angle MOD|=2\cdot30^o\)

\(|\angle MOD|=60^o\)

Czyli trójkąt OMD jest równoboczny.
\(|MD|=|OM|=|OD|=r=|ME|\)

W zadaniu 1 kąt przy wierzchołku C jest równy \(120^o\)?