forum.zadania.info

Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów
uzasadnić podane równości

\(a) \Lim_{n\to \infty } \frac{n^{2016}}{3^n}=0\)

Proszę o rozwiązanie krok po kroku

M4rin3s pisze:Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów
uzasadnić podane równości

\(a) \Lim_{n\to \infty } \frac{n^{2016}}{3^n}=0\)

Proszę o rozwiązanie krok po kroku

Kroków nie będzie dużo:
szereg \(\sum_{}^{} \frac{n^{2016}}{3^n}\)jest zbieżny na podstawie kryterium d'Alemberta, bo:
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{\frac{(n+1)^{2016}}{3^{n+1}}}{\frac{n^{2016}}{3^n}}=\Lim_{n\to \infty } \frac{(n+1)^{2016}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^{2016}}=\Lim_{n\to \infty } \frac{(n+1)^{2016}}{n^{2016}} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}}=\Lim_{n\to \infty } \left( \frac{n+1}{n} \right) ^{2016} \cdot \frac{3^n}{3^{n} }\cdot \frac{1}{3} =1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} <1\),
musi więc spełniać warunek konieczny, czyli \(\Lim_{n\to \infty } \frac{n^{2016}}{3^n}=0\).

Super, dzięki