forum.zadania.info

1.Wyznaczyć wszystkie trojki liczb pierwszych ,których iloczyn jest pieciokrotnie większy od ich sumy
2.dla jakich liczb naturalnych m i n liczba \(m^4+4n^4\) jest liczba pierwsza?
ma ktoś pomysl?,bo ja nwm jak to wykminic

np 2
\(m^4 +4n^4 = m^4 +4n^4 +(2mn)^2 -(2mn)^2 =(m^2+2n^2)^2 -(2mn)^2= ( (m-n)^2+n^2) ((m+n)^2 +n^2)\)
widać ,że jest : prawie zawsze złożona
warunkiem koniecznym bycia pierwszą ,jest aby mniejszy z czynników był równy 1
\(1= (m-n)^2+n^2 < (m+n)^2 +n^2\)
stąd : \(m-n=0\) i \(n=1\) czyli \(m=n=1\) i wtedy drugi czynnik to \((m+n)^2 +n^2 =5\) czyli liczba jest pierwsza

np 1
\(p_1 \cdot p_2 \cdot p_3=5(p_1 +p_2 +p_3)\)
z warunków zadania i z podzielności jest ,że \(p_1=5\)
stąd : \(p_2 \cdot p_3=p_2+p_3+5\)
\((p_2-1) \cdot (p_3-1)=6\)
dalej już sobie poradzisz , trzeba rozpatrzeć możliwe rozkłady \(6=1 \cdot 6=2 \cdot 3\)