Kryterium ilorazowe

[M4rin3s]

Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:

\(\int_{0}^{1}\frac{(x^3+1)dx}{ \sqrt{x}(x^2+1) }\)

[panb]

Weź \(f(x)= \frac{(x^3+1)dx}{\sqrt{x}(x^2+1)},\,\,\, g(x)= \frac{x^3}{\sqrt{x^5}}\).
Granica wychodzi równa 1 i \(\int_{0}^{1} g(x)=\frac{2}{3}\).
Wnioski wyciągnij samodzielnie.

[M4rin3s]

Nie rozumiem, czemu w mianowniku dajemy akurat \(\sqrt{x^5}\)
Nie rozumiem, czemu granica \(\frac{f(x)}{g(x)}\) wynosi 1

Nie umiem z tego wywnioskować czy jest zbieżna/rozbieżna i dla czego.
Mam przed sobą wzory, ale nic z tego nie umiem przełożyć na rozwiązania zadania.
Proszę o wytłumaczenie krok po kroku

[panb]

Chyba żartujesz? Jeśli masz przed sobą wzory, to je zastosuj!
Nie rób komuś zadań, jeśli nie znasz podstaw (np. granic)

Powiem skąd się wzięło \(g(x)=\frac{x^3}{\sqrt{x^5}}\).

• Najwyższa potęga w liczniku funkcji f, to \(x^3\)
  Najwyższa potęga w mianowniku, to \(\sqrt x \cdot x^2=\sqrt{x^5}\)

[M4rin3s]

Granica przy x dążącym do nieskończoności wynosi 1, ale przy x dążącym do zera wynosi \(+\infty\)

No a przy całkach drugiego rodzaju bierzemy granicę przy x dążącym do 0

[panb]

Masz rację, tu bierzemy granicę \(x \to 0^+\), ale wtedy jest jeszcze łatwiej.
Bierzemy \(g(x)= \frac{1}{ \sqrt{x} }\). Wtedy \(\Lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{g(x)}=1\)
\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt x} =2\), więc ....