forum.zadania.info

Rozumiem, że najpierw wyznaczam dziedzinę, która dla tych przykładów jest R

potem liczę pochodną i drugą pochodną i robię równanie y '' = 0

tylko jak to zrobić w tych przykładach

Liczysz pierwszą,a potem drugą pochodną.
Ustalasz znak drugiej pochodnej i miejsca zerowe drugiej pochodnej.
\(a)\\f(x)=3x^5-5x^4+1\;\;\;\;\;\;D= \rr \\f'(x)=15x^4-20x^3\\f"(x)=60x^3-60x^2=60x^2(x-1)\\f"(x)=0\;\;\;dla\;\;\;x=0\;\;\;lub\;\;\;x=1\)
\(f"(x)>0\;\;\;x-1>0\;\;\;\;\;\;x>1\)
Funkcja jest wypukła w przedziale \((0;+ \infty )\)
\(f"(x)<0\;\;\;\;\;\;\;\;\;x<1\)
Funkcja jest wklęsła w \((- \infty ;1)\)
Punkt przegięcia:
\(x=1\\y=f(1)=3-5+1=-1\\P=(1;-1)\)
W zerze nie ma punktu przegięcia,bo druga pochodna po obu stronach zera ma ten sam znak.

Dziękuję Udało się mi wczesniej samodzielnie obliczyć Jednak na zadanie drugie nie mam pomysłu bo ten -x nie wiem jak wyliczyć

Zad.b)
\(f(x)=3x \cdot e^{-x}= \frac{3x}{e^x}\;\;\;\;\;\;\;\;D= \rr \\f'(x)= \frac{3e^x-3xe^x}{(e^x)^2}= \frac{e^x(3-3x)}{(e^x)^2}= \frac{3-3x}{e^x}\\f"(x)= \frac{-3e^x-(3-3x)e^x}{(e^x)^2}= \frac{-3e^x-3e^x+3xe^x}{(e^x)^2}= \frac{-6e^x+3xe^x}{(e^x)^2}= \frac{-6+3x}{e^x}\\f"(x)>0\;\;\;\;gdy\;\;\;-6+3x>0\\3x>6\\x>2\\funkcja\;wypukła\;dla\;x\in(2;+ \infty )\)
\(f"(x)<0\;\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;-6+3x<0\\3x<6\\x<2\\Funkcja\;\; wklęsła\;\;dla\;x\in (- \infty ;2)\)
Punkt przegięcia
\(x=2\\y=f(2)= \frac{3 \cdot 2}{e^2}= \frac{6}{e^2}\approx 0,8\)
\(P=(2\;;\; \frac{6}{e^2})\)

Mógłbyś powoli mi wyjaśnić jak obliczasz drugą pochodną?

radosnykonik pisze:Mógłbyś powoli mi wyjaśnić jak obliczasz drugą pochodną?

Korzystam z wzoru na pochodną ilorazu.
\([ \frac{f(x)}{g(x)}]'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)

Ok, tylko od czego zaczynasz liczenie drugiej pochodnej? W żaden sposób -6 + 3x nie da -3e.

Mógłbyś wskazać początek liczenia drugiej pochodnej?

\(f"(x)=[ \frac{3-3x}{e^x}]'= \frac{(3-3x)' \cdot e^x-(3-3x) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2}=...\)
Dalej wstawiasz...
\(3'=0\\(3x)'=3\\(e^x)'=e^x\)

Teraz już jasne, wielkie dzięki