Strona 1 z 1
Trójkąty wpisane w koło
: 18 lut 2018, 19:01
autor: laikan
W trójkąt równoboczny o boku a wpisano koło, w to koło wpisano trójkąt równoboczny, w ten trójkąt wpisano koło, a następnie w to koło wpisano trójkąt itd. w nieskończoność. Sprawdź ile razy suma pól wszystkich trójkątów jest większa od pola danego trójkąta.
Re: Trójkąty wpisane w koło
: 18 lut 2018, 20:16
autor: panb
Rozwiązanie na załączonym obrazku:
- rozwiazanie.png (44.39 KiB) Przejrzano 1449 razy
: 18 lut 2018, 20:33
autor: wuempe
Jeśli starannie wykonasz rysunek, to zauważysz, że długości kolejnych trójkąt tworzą nieskończony ciąg geometryczny o ilorazie q = 1/2. Pola tych trójkątów także także tworzą ciąg geometryczny nieskończony o ilorazie 1/4. Jeżeli bok pierwszego (największego) trójkąta oznaczysz jako a1 a to jego pole S1=
\(a1^2 \sqrt{3} /4\).
Wtedy suma pól S = s1+s1+s3+......=
\(s1/(1-1/4)\) co w efekcie da : S =
\(a1^2 \sqrt{3} /3\).
Podobnie promień największego koła wyrażony za pomocą największego boku trójkąta a1 , ma wartość :
\(r1 = a1 \sqrt{3}/6\). Pole tego koła
\(p1=\pi r1^2\)=
\(\pi a1^2/12\). Pola kół p1, p2, p3 ....tworzą również ciąg geometryczny nieskończony o ilorazie 1/4. Sumę tych pól policzysz również jako sumę ciągu geometrycznego nieskończonego
P = p1+p1+p1+.....= s1/(1-1/4) co da
\(P=\pi a1^2/9\)
Ostatecznie stosunek sum S : P =
\(3 \sqrt{3} //pi\)
Jeśli nie zrobiłem jakiegoś błędu rachunkowego , to wynik powinien być poprawny.
Pozdrawiam
Re:
: 18 lut 2018, 20:41
autor: wuempe
wuempe pisze:Jeśli starannie wykonasz rysunek, to zauważysz, że długości kolejnych trójkąt tworzą nieskończony ciąg geometryczny o ilorazie q = 1/2. Pola tych trójkątów także także tworzą ciąg geometryczny nieskończony o ilorazie 1/4. Jeżeli bok pierwszego (największego) trójkąta oznaczysz jako a1 a to jego pole S1=
\(a1^2 \sqrt{3} /4\).
Wtedy suma pól S = s1+s1+s3+......=
\(s1/(1-1/4)\) co w efekcie da : S =
\(a1^2 \sqrt{3} /3\).
Podobnie promień największego koła wyrażony za pomocą największego boku trójkąta a1 , ma wartość :
\(r1 = a1 \sqrt{3}/6\). Pole tego koła
\(p1=\pi r1^2\)=
\(\pi a1^2/12\). Pola kół p1, p2, p3 ....tworzą również ciąg geometryczny nieskończony o ilorazie 1/4. Sumę tych pól policzysz również jako sumę ciągu geometrycznego nieskończonego
P = p1+p1+p1+.....= s1/(1-1/4) co da
\(P=\pi a1^2/9\)
Ostatecznie stosunek sum S : P =
\(3 \sqrt{3} //pi\)
Jeśli nie zrobiłem jakiegoś błędu rachunkowego , to wynik powinien być poprawny.
Pozdrawiam
Przepraszam. Tak przejąłem się udzieleniem pomocy, że niedoczytałem treści i rozwiązałem zadanie znacznie trudniejsze.