forum.zadania.info

Zbadaj różniczkowalność funkcji \(f(x) =\sqrt[4]{x^2}\) w dziedzinie naturalnej. Czy f jest jednostajnie ciągła na zbiorze \(<1,+ \infty )\)?

pomoze ktos??

\(f(x) =\sqrt[4]{x^2}= \sqrt{|x|}= \begin{cases} \ \ \ \sqrt{x} \ \ \ dla\ x \ge 0\\- \sqrt{x} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
\(f'(x) = \begin{cases} \ \ \ \frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ \ dla\ x>0\\ nie\ istnieje\ dla\ x=0\\- \frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)

Zatem nie jest rózniczkowalna bo nie istnieje pochodna dla x=0 , dobrze myslę?

Dobrze. Można też powiedzieć, że jest różniczkowalna wszędzie poza zerem.

a co jesli chodzi o drugie pytanie?

Zakładam, że znasz lub możesz znaleźć w notatkach definicję jednostajnej ciągłości.

Trzeba oszacować wartość wyrażenia \(|f(x_1)-f(x_2)|\) dla \(x_1,x_2 \, \in [1,+ \infty )\)

• \(|f(x_1)-f(x_2)|= \begin{vmatrix} \sqrt{|x_1|}-\sqrt{|x_2|}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\end{vmatrix}= \frac{|x_1-x_2|}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\le \frac{|x_1-x_2|}{2}\), bo \(x_1,x_2\ge 1\)

Jeżeli weźmiemy \(\delta=2\varepsilon\) (\(\delta\) nie zależy od wyboru \(x_1,\,\, x_2\), a tylko od \(\varepsilon\)) to, jeśli \(|x_1-x_2|<\delta \So |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\) co dowodzi jednostajnej ciągłości funkcji f na przedziale \([1,+ \infty )\)

P.S.

• W zapisie pochodnej dla x<0 podanych przez @radagast występuje pierwiastek z liczby ujemnej.
  Powinno być \(\frac{1}{2\sqrt{-x}}\) zamiast \(\left( -\frac{1}{2\sqrt x}\right)\)

P.S. W zapisie pochodnej dla x<0 podanych przez @radagast występuje pierwiastek z liczby ujemnej.
Powinno być \(\frac{1}{2\sqrt{-x}}\) zamiast \(\left( -\frac{1}{2\sqrt x}\right)\)

dlaczego?

Oczywiście! Panb ma rację, to pomyłka !

a wytłumaczy mi ktos dlaczego to pomyłka?

radagast pisze:\(f(x) =\sqrt[4]{x^2}= \sqrt{|x|}= \begin{cases} \ \ \ \sqrt{x} \ \ \ dla\ x \ge 0\\- \sqrt{x} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
\(f'(x) = \begin{cases} \ \ \ \frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ \ dla\ x>0\\ nie\ istnieje\ dla\ x=0\\- \frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)

\(dla\ x < 0\ \ \ \sqrt{x}\) nie istnieje (taka jest definicja pierwiastka w zbiorze liczb rzeczywistych i powinien o tym wiedzieć każdy gimnazjalista.Pewnie wie, tylko czasem , jak ja, czasem zapomina )
Powinnam napisać
\(f(x) =\sqrt[4]{x^2}= \sqrt{|x|}= \begin{cases} \ \ \ \sqrt{|x|} \ \ \ dla\ x \ge 0\\- \sqrt{|x|} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)
\(f'(x) = \begin{cases} \ \ \ \frac{1}{2\sqrt{|x|}} \ \ \ dla\ x>0\\ nie\ istnieje\ dla\ x=0\\- \frac{1}{2\sqrt{|x|}} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)

radagast pisze: \(dla\ x < 0\ \ \ \sqrt{x}\) nie istnieje (taka jest definicja pierwiastka w zbiorze liczb rzeczywistych i powinien o tym wiedzieć każdy gimnazjalista.Pewnie wie, tylko czasem , jak ja, czasem zapomina )
Powinnam napisać
\(f(x) =\sqrt[4]{x^2}= \sqrt{|x|}= \begin{cases} \ \ \ \sqrt{|x|} \ \ \ dla\ x \ge 0\\- \sqrt{|x|} \ \ dla\ x < 0\end{cases}\)

Oj, chyba nie tak.

• Z definicji wartości bezwzględnej korzystając, dostajemy \[\sqrt{|x|}= \begin{cases} \sqrt{x}&dla & x\ge0\\ \sqrt{-x}&dla&x<0 \end{cases}\]