Strona 1 z 1
Płaszczyzny
: 31 sty 2018, 22:02
autor: Pasus
1) Znajdź równanie płaszczyzny zawierającą punkt P(1,0,3) oraz prostą l : x/1=(y+1)/2=(z-1)/3
2) Znajdź równanie płaszczyzny zawierającą punkt P(2,1,1) oraz prostą
l : {■(x+y-z=0
x-y+2z-4=0)
3) Znajdź rzut punktu P(1,0,2) na płaszczyznę π : 2x+y-3z+10=0.
Re: Płaszczyzny
: 01 lut 2018, 08:45
autor: radagast
Pasus pisze:1) Znajdź równanie płaszczyzny zawierającą punkt P(1,0,3) oraz prostą l : x/1=(y+1)/2=(z-1)/3
\(\pi\)-szukana płaszczyzna
\(l: \frac{x}{1} = \frac{y+1}{2}= \frac{z-1}{3}\)
\(l\parallel \alpha =\left[1,2,3 \right]\)
\(Q= \left(0,-1,1 \right) \in l\)
\(\vec{QP}= \left[ 1,1,2\right]\)
\(\vec{QP} \times \alpha =\left[ 1,1,2\right] \times \left[1,2,3 \right]= \left[ -1,-1,1\right] \perp \pi\)
\(\pi -y+z+D=0\), a skoro przechodzi przez
\(P\), to
\(D=-2\).
Odpowiedź: szukana płaszczyzna ma równanie
\(-x-y+z-2=0\).
Re: Płaszczyzny
: 01 lut 2018, 10:46
autor: radagast
Pasus pisze:
2) Znajdź równanie płaszczyzny zawierającą punkt P(2,1,1) oraz prostą
l : {■(x+y-z=0
x-y+2z-4=0)
\(\pi\)- szukana płaszczyzna
\(l : \begin{cases}x+y-z=0\\ x-y+2z-4=0 \end{cases}\)
Znajdźmy dowolny punkt z prostej
\(l\). To jest np
\(Q= \left(1,1,2 \right)\)
\(\vec{QP}= \left[1,0,-1 \right] \parallel \pi\)
Również równoległy do
\(\pi\) musi być wektor kierunkowy prostej
\(l\) :
\(\ \ \ \ \ \alpha = \left[ 1,1,-1\right] \times \left[1,-1,2 \right]= \left[1,-3,-2 \right]\) (o ile nie pomyliłam się w rachunkach-sprawdź)
Wektor prostopadły do
\(\pi\) to
\(\vec{QP} \times \left[1,-3,-2 \right] = \left[1,0,-1 \right] \times \left[1,-3,-2 \right] = \left[-3,1,-3 \right]\) (o ile nie pomyliłam się w rachunkach-sprawdź)
no to
\(\pi\) ma równanie
\(-3x+y-3z+D=0\),a skoro przechodzi przez
\(P\) to
\(D=8\)
Odpowiedź: szukana płaszczyzna to
\(-3x+y-3z+8=0\)
Re: Płaszczyzny
: 01 lut 2018, 11:52
autor: radagast
Pasus pisze:
3) Znajdź rzut punktu P(1,0,2) na płaszczyznę π : 2x+y-3z+10=0.
Poprowadźmy prostą l prostopadłą do
\(\pi\) przechodzącą przez P:
\(\left[ 2,1,-3\right] \perp \pi\) zatem
\(\left[ 2,1,-3\right] \parallel l\)
no to prosta
\(l\) ma przedstawienie parametryczne:
\(p(t)= \left(2t+1,t,-3t+2 \right)\)
podstawmy to do równania płaszczyzny
\(\pi\):
\(4t+2+t+9t-6+10=0\). Stąd
\(t=- \frac{3}{7}\)
Szukany punkt to :
\(\left(2 \left(- \frac{3}{7} \right) +1,\left(- \frac{3}{7} \right),-3\left(- \frac{3}{7} \right)+2 \right)= \left( \frac{1}{7},-\frac{3}{7} ,\frac{23}{7} \right)\)