Oblicz sumę szeregu
: 31 sty 2018, 18:39
Oblicz sumę \[\sum_{n=1}^{\ \infty } \frac{n}{3^n}\].
Bardzo proszę o wytłumaczenie. Z góry dziękuję
Bardzo proszę o wytłumaczenie. Z góry dziękuję
\(S= \frac{1}{3}+2( \frac{1}{3})^2+ 3( \frac{1}{3})^3+ 4( \frac{1}{3})^4+....\\
S= \frac{1}{3}+( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+2( \frac{1}{3})^3+ ( \frac{1}{3})^4+ 3( \frac{1}{3})^4+....\\
S= \left\{ \frac{1}{3}+( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+ ( \frac{1}{3})^4+....\right\} + \left\{ \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+2( \frac{1}{3})^3+ 3( \frac{1}{3})^4+....\right\} \\
S= \left\{ \frac{ \frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}} \right\} + \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{3}+2( \frac{1}{3})^2+ 3( \frac{1}{3})^3+ ....\right\} \\
S= \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}S\\
S= \frac{3}{4}\)