forum.zadania.info

Witam, dostaliśmy polecenie: "Oblicz i narysuj na płaszczyźnie zespolonej wszystkie pierwiastki (a jest ich tyle, ile
wynosi stopień pierwiastka)".
1) \(\sqrt[4]{8i}\)
Uznałem, że najłatwiej będzie obliczyć pierwszy pierwiastek ze wzoru de Moivre’a, a resztę podać na podstawie właściwości pierwiastka 4 stopnia. Liczby wyszły paskudne, wynika to jednak z faktu wystąpienia argumentu \(\frac{ \pi }{8}\).
Ostateczne rozwiązania to:
\(z_0 = \frac{\sqrt[4]{48+32 \sqrt{2}}}{2}+\frac{\sqrt[4]{48-32 \sqrt{2}}}{2}i\)
\(z_1 = \frac{-\sqrt[4]{48-32 \sqrt{2}}}{2}+\frac{\sqrt[4]{48+32 \sqrt{2}}}{2}i\)
\(z_2 = \frac{-\sqrt[4]{48+32 \sqrt{2}}}{2}-\frac{\sqrt[4]{48-32 \sqrt{2}}}{2}i\)
\(z_3 = \frac{\sqrt[4]{48-32 \sqrt{2}}}{2}-\frac{\sqrt[4]{48+32 \sqrt{2}}}{2}i\)
A teraz pytanie całkowicie na serio... Jak mam to zaznaczyć na osi? A może zrobiłem gdzieś błąd i liczby powinny wyjść dużo ładniejsze? Proszę o pomoc...

W \(\frac{\pi}{8}\) nie ma nic paskudnego. To połowa \(\frac{\pi}{4}\). Jeśli skorzystasz z postaci trygonometrycznej to da radę to narysować. \(\sqrt[4]{8} =\sqrt{ \sqrt{8} }\), a kolejne kąty to \(\frac{\pi}{8} ,\,\,\, \frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{8} ,\,\,\, \pi+\frac{\pi}{8},\,\,\, \frac{3}{2}\pi+ \frac{\pi}{8}\)

Będzie to coś takiego: Skąd wziąć \(\sqrt{\sqrt8}\)? To wyjaśnia (mam nadzieję) następny rysunek

Ponadto:
\(48 \pm 32 \sqrt{2} = \left(4 \sqrt{2} \pm 4 \right) ^2= \left[4 \left( \sqrt{2} \pm 1\right) \right]^2\)

Dziękuję za pomoc. Zrozumiałem to co potrzebowałem zrozumieć. Jutro jeszcze usiądę i pobawię się innymi przykładami.