Witam, proszę o pomoc w zadaniu z geometrii analitycznej.
Na hiperboli o równaniu y=-3/X , x<0 wyznacz współrzędne takiego punktu C, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze, gdzie A(1,-4); B(5,-2).
Pozdrawiam.
Wyznaczanie punktu C, by pole trójkąta ABC było najmniejsze
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Wyznaczanie punktu C, by pole trójkąta ABC było najmniej
Pole będzie najmniejsze, gdy wysokość opuszczona na bok AB (odległość punktu C od prostej AB) będzie najkrótszaPilecki pisze:Witam, proszę o pomoc w zadaniu z geometrii analitycznej.
Na hiperboli o równaniu y=-3/X , x<0 wyznacz współrzędne takiego punktu C, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze, gdzie A(1,-4); B(5,-2).
Pozdrawiam.
prosta AB:
\(x-2y-9=0\)
\(C(c,\frac{-3}{c})\\
h=\frac{|c+\frac{6}{c}-9}|{\sqrt{1+4}}\\
c<0\\
h(c)=\frac{9-c-\frac{6}{c}}{\sqrt{5}}\\
h'(c)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1+\frac{6}{c^2})\\
h'(c)=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{-c^2+6}{c^2}\\
h_{min}=h(\sqrt{6})\\
C(\sqrt{6},-\frac{3}{\sqrt{6}})\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Możesz policzyć pole trójkąta jako połowa wyznacznika wektorów AB i AC
\(A=(1;-4)\\B=(5;-2)\\C=(x; \frac{-3}{x})\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x<0\\ \vec{AB}=[4;2]\\ \vec{AC}=[x-1;-\frac{3}{x}+4]\\P_{ABC}= \frac{1}{2} \begin{vmatrix}x-1\;\;\;\;4- \frac{3}{x}\\4\;\;\;\;\;\;\;\;\;2 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}(2x-2-16+ \frac{12}{x})=|x+ \frac{6}{x}-9|=P(x)\)
\(P'(x)=1- \frac{6}{x^2}= \frac{x^2-6}{x^2}\)
\(P'(x)=0\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;x^2-6=0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;x=- \sqrt{6}\;\; lub\;\;\;x= \sqrt{6}\)
W zadaniu ma być x<0,więc mamy \(C=(- \sqrt{6}; \frac{-3}{- \sqrt{6} })=(- \sqrt{6}; \frac{ \sqrt{6} }{2})\)
Tylko w punkcie \(x=- \sqrt{6}\) pochodna zmienia znak z + na -,a to oznacza że funkcja osiąga maksimum...
\(A=(1;-4)\\B=(5;-2)\\C=(x; \frac{-3}{x})\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x<0\\ \vec{AB}=[4;2]\\ \vec{AC}=[x-1;-\frac{3}{x}+4]\\P_{ABC}= \frac{1}{2} \begin{vmatrix}x-1\;\;\;\;4- \frac{3}{x}\\4\;\;\;\;\;\;\;\;\;2 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}(2x-2-16+ \frac{12}{x})=|x+ \frac{6}{x}-9|=P(x)\)
\(P'(x)=1- \frac{6}{x^2}= \frac{x^2-6}{x^2}\)
\(P'(x)=0\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;x^2-6=0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;x=- \sqrt{6}\;\; lub\;\;\;x= \sqrt{6}\)
W zadaniu ma być x<0,więc mamy \(C=(- \sqrt{6}; \frac{-3}{- \sqrt{6} })=(- \sqrt{6}; \frac{ \sqrt{6} }{2})\)
Tylko w punkcie \(x=- \sqrt{6}\) pochodna zmienia znak z + na -,a to oznacza że funkcja osiąga maksimum...
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.