współrzędne wierzchołka C

[kola92]

Dane są dwa wierzhołki trójkąta A(-5,-1) i B (0,-3). Pole tego trójkąta jest równe 12, a wierzchołek należy do prostej y=2x+3. Wyznacz współrzędne wierzchołka C.

[anka]

Obliczam \(|AB|\)
\(|AB|= \sqrt{(0+5)^2+(-3+1)^2}\)
\(|AB|= \sqrt{25+4}\)
\(|AB|= \sqrt{29}\)

Obliczam wysokość trójkąta opuszczoną na bok AB
\(P= \frac{|AB|h}{2}\)
\(\frac{\sqrt{29}h}{2} =12\)
\(h= \frac{24 \sqrt{29} }{29}\)

Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B
\(y-y_{A}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\cdot(x-x_{A})\)
\(y+1=\frac{-3+1}{0+5}\cdot(x+5)\)
\(2x+5y+15=0\)

Obliczam współrzędne punktu C
Punkt C leży na prostej y=2x+3, więc jego współrzędne to \(C(x;2x+3)\)
Odległość punktu C od prostej \(2x+5y+15=0\) to wysokośc trójkąta
\(h=\frac{|Ax_{p}+By_{p}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{24 \sqrt{29} }{29}\)
\(\frac{|2x+5(2x+3)+15|}{\sqrt{2^2+5^2}}=\frac{24 \sqrt{29} }{29}\)
\(\frac{|12x+30|}{\sqrt{29}}=\frac{24 \sqrt{29} }{29}\)
\(|12x+30|=24\)
\(x=-4,5 \ \ lub x=-0,5\)

\(C(x;2x+3)\)
\(C(-4,5;-6)\) lub \(C(-0,5;2)\)