forum.zadania.info

Określ, czy wektor (4,6,6) jest liniową kombinacją wektorów \(v1=(1,2,-1)\) oraz \(v2=(3,5,2)\).

Dopiero zacząłem ten temat i nie wiem, czy dobrze rozumiem.

Układam równanie:
\((4,6,6)=a(1,2,-1) + b(3,5,2)\)

Z powyższego mam układ równań:

\(a + 3b = 4\)
\(2a + 5b = 6\)
\(-a + 2b = 6\)

Z układu robię macierz:

\(\left| \begin{array}{ccc}
1 & 3 & 4 \\
2 & 5 & 6 \\
-1 & 2 & 6
\end{array} \right|

\to

\left| \begin{array}{ccc}
1 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 18
\end{array} \right|\)

Rozwiązywałem sposobem eliminacji Gaussa, druga macierz jest po przekształceniach.

Tak więc mogę z tego wnioskować, że:
\(b=2\) oraz \(a=-2\)

Czyli ostatecznym wynikiem jest:
\((4,6,6)=-2 \cdot (1,2,-1) + 2 \cdot (3,5,2)\)


Mój sposób rozwiązywania jest prawidłowy?

Prawidłowy, aczkolwiek układ równań można rozwiązać choćby podstawianiem.
Brak wniosku, że wskazany wektor jest kombinacją liniową wektorów v1,v2.

Nie do końca rozumiem.
Mam napisać wniosek typu: Wektory v1, v2 tworzą bazę w przestrzeni liniowej \(R^3\)?

Ależ nIe.
Masz jedynie stwierdzić na podstawie swoich obliczeń

dytr pisze: czy wektor (4,6,6) jest liniową kombinacją wektorów \(v1=(1,2,-1)\) oraz \(v2=(3,5,2)\).

PS
Te trzy (powyższe) wektory nie tworzą bazy w \(R^3\)