forum.zadania.info

Obliczyć odległość prostych równoległych:

\(l_1: \begin{cases}x+y+z-3=0\\ x-2y-z-1=0 \end{cases}\)

\(l_2: \begin{cases}x+y-z-3=0\\ x-2y-z+4 \end{cases}\)

Dostaję po przekształceniu \(l_1: 2x-y-4=0\) oraz \(l_2: 2x-y+1=0\)

Jak wyliczyć teraz odległość między nimi?

1) pomyliłeś się w rachunkach (jeszcze raz dodaj płaszczyzny prostej \(l_2\))
2) to co otrzymałeś to nie są proste tylko płaszczyzny (prosta w przestrzeni to dwa równania, a nie jedno)
3) proste podane w zadaniu nie są równoległe (podejrzewam błąd w przepisywaniu zadania-sprawdź. Być może, słowo "równoległych" należy zastąpić słowem "skośnych")

Tak w równaniu drugiej prostej powinno być x+y+z-3=0
Jeżeli równanie prostej to dwa równania przecinających się ze sobą płaszczyzn, to po przekształceniu otrzymuje po prostu dwie płaszczyzny o równych wektorach normalnych i liczę między nimi odległość?

M4rin3s pisze: Jeżeli równanie prostej to dwa równania przecinających się ze sobą płaszczyzn, to po przekształceniu

Masz na myśli dodanie stronami równań tych płaszczyzn ?

M4rin3s pisze:otrzymuje po prostu dwie płaszczyzny o równych wektorach normalnych

tu akurat tak

M4rin3s pisze: i liczę między nimi odległość?

możesz to policzyć tylko wynik nie będzie szukaną odległością prostych.

M4rin3s pisze:Tak w równaniu drugiej prostej powinno być x+y+z-3=0

No to istotnie. One są równoległe.

To w takim razie, jak to wyliczyć?

Próbuję policzyć tę odległość ale wychodzą mi jakieś obrzydliwe wyniki (\(d= \frac{ \sqrt{1050}}{14}\)). Sprawdź czy nie ma w danych innych literówek.

\(x + y + z − 3 = 0\)
\(x − 2y − z − 1 = 0\)

\(x + y + z − 3 = 0\)
\(x − 2y − z + 4 = 0\)

Skopiowane z listy zadań

No to tak:
wspólny wektor kierunkowy prostych \(l_1\) i \(l_2\) to \(\vec{v} =\left[ 1,1,1\right] \times \left[1,-2,-1 \right] = \left[1,2,-3 \right]\)
\(A_1= \left( 2,0,1\right) \in l_1\)
\(A_2= \left( 0,1,2\right) \in l_2\)
\(\vec{A_1A_2} = \left[-2,1,1 \right]\)
\(\vec{A_1A_2} \times \vec{v} = \left[-5,-5,-5 \right]\)
no i teraz podstawiając do wzoru : http://home.agh.edu.pl/~gora/algebra/Wyklad12.pdf (wzór12.17)
mamy
\(d \left( A_1l_2\right)= \frac{ \sqrt{5^2+5^2+5^2} }{ \sqrt{1^2+2^2+3^2} } = \frac{ \sqrt{25 \cdot 3} }{ \sqrt{14} }= \frac{5 \sqrt{42} }{14}\)

A gdybyś nie chciał korzystać z podanego wzoru to też się da:
szukamy odległości punktu \(A_2= \left(0,1,2 \right)\) od prostej \(l_1\) o przedstawieniu parametrycznym \(l_1(t)=(t+2,2t,-3t+1)\). Wektor o początku \(A_2\) i końcu na \(l_2\) ma współrzędne \(\left[t+2,2t-1,-3t-1 \right]\) i jest prostopadły do \(\vec{v}\) gdy \(\left[t+2,2t-1,-3t-1 \right] \circ \left[1,2,-3 \right]=0\) czyli gdy
\(t+2+4t-2+9t+3=0\) czyli gdy
\(t= -\frac{3}{14}\)
Wówczas punkt z prostej \(l_1\) to \(A_1=\left( \frac{25}{14} ,- \frac{6}{14} , \frac{23}{14} \right)\)
\(\vec{A_1A_2}= \left[- \frac{25}{14}, \frac{20}{14} , \frac{5}{14} \right]\)
Interesuje nas teraz odległość \(|A_1A_2|= \sqrt{...}\) (policz sobie , dobrze wychodzi )