forum.zadania.info

Rozwiąż \((\sqrt{1 + sin^2(x)} − sin(x)) (\sqrt{1 + cos^2(x)} − cos(x)) = 1\).

\(\left( \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } - \sin \left( x \right) \right) \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\)
\(\frac{1}{ \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) } \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) =\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) \\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } -\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }= \cos \left( x \right) + \sin \left( x \right)\)
\(1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=4+
4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=3+4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)\\
-2\sin 2x=7\\
\sin 2x= \frac{-7}{2}\\
x \in \emptyset\)

Oj chyba coś źle ... . Sprawdź dla \(x=- \frac{\pi}{4}\)
Ostateczna odpowiedź to \(x=\frac{3\pi}{4}+k\pi,\ \ k \in C\)

a gdzie jest bład w tym co rozwiązał kerajs

kerajs pisze:\(\left( \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } - \sin \left( x \right) \right) \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\)
\(\frac{1}{ \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) } \left( \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) \right) = 1\\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } - \cos \left( x \right) =\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) } + \sin \left( x \right) \\
\sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } -\sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }= \cos \left( x \right) + \sin \left( x \right)\)
\(1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=4+
4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)+4 \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-4 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=3+4 \cos^2 \left( x \right)+4 \sin^2 \left( x \right)\\
-2\sin 2x=7\\
\sin 2x= \frac{-7}{2}\\
x \in \emptyset\)

Tutaj.
Jest tak: \(1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\)
Powinno być: \(2-2 \cos x \sin x=2 \sqrt{1+\cos^2x} \sqrt{1+\sin^2 x}\)

Ależ babol.

\(...\\
1 + \cos ^2-2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }+1 + \sin ^2 \left( x \right)=1+2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)\\
2-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=2 \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1- \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)= \sqrt{1 + \cos ^2 \left( x \right) } \sqrt{1 + \sin ^2 \left( x \right) }\\
1-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)+ \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)=1+
\cos^2 \left( x \right)+ \sin^2 \left( x \right)+ \cos^2 \left( x \right) \sin^2 \left( x \right)\\
-2 \cos \left( x \right) \sin \left( x \right)=1\\
\sin 2x=-1\\
x= \frac{- \pi }{4}+k \pi\)
Teraz trzeba sprawdzić (bo nie robiłem założeń) które z tych rozwiązań spełniają równanie.

Niczego nie trzeba sprawdzać - nie ma żadnych założeń.
To rozwiązanie jest identyczne z tym, które podała @radagast.
THE END