forum.zadania.info

Mam problem z tymi zadaniami.
Zadanie 1.
Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 16cm i jestr nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 60 stopni. Oblicz długość drutu potrzebną do zrobienia szkieletu tego granistosłupa.
Zadanie 2.
Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 10 cm i tworzy z sąsiednią ścianą boczną kąt alfa taki, że sin alfa=4/5. Oblicz długość wysokości tego graniastosłupa.

1.
H- wysokość graniastosłupa, a- krawędź podstawy. Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy to kąt między tą przekątną a przekątną podstawy (przekątna kwadratu o boku a, więc ma długość równą \(a\sqrt{2}\)).

\(\frac{H}{16}=sin60^o\\H=16\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}cm\\\frac{a\sqrt{2}}{16}=cos60^o\\a\sqrt{2}=16\cdot\frac{1}{2}\\a=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}cm\)

Ilość drutu to suma wszystkich krawędzi:
\(d=4H+8a\\d=32\sqrt{3}+32\sqrt{2}=32(\sqrt{3}+\sqrt{2})cm\)

2.
Żeby wyznaczyć kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej, trzeba wyznaczyć prostokątny rzut tej przekątnej na sąsiednią ścianę. Ten rzut będzie odcinkiem łączącym wierzchołek podstawy ze środkiem krawędzi drugiej podstawy. Mamy tu trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest przekątna ściany bocznej, jedną z przyprostokątnych jest wysokość podstawy (wysokość trójkąta równobocznego), a drugą przyprostokątną jest odcinek łączący wierzchołek dolnej podstawy graniastosłupa ze środkiem krawędzi górnej podstawy.
a- krawędź podstawy \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)- wysokość podstawy, H- wysokość graniastosłupa

\(sin\alpha=\frac{4}{5}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{10}\\\frac{a\sqrt{3}}{20}=\frac{4}{5}\\a=\frac{16\sqrt{3}}{3}\)
\(a^2+H^2=10^2\\(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2+H^2=100\\H^2=100-\frac{256}{3}\\H^2=\frac{44}{3}\\H=\frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{33}}{3}cm\)

Dziękuję za pomoc.