forum.zadania.info

Dzień Dobry,
Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadanek.

1) Wyznaczyć liczbę permutacji zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8},w których żadna liczba parzysta nie znajduje się na swojej naturalnej pozycji.

2) Przed spektaklem 7 osób zostawiło w szatni swoje parasole. Na ile sposobów parasole te mogą zostać zwrócone pod warunkiem, że co najmniej dwie osoby otrzymają swoje parasole.

Udało mi się znaleźć wzór, który sprawdziłem generując takie permutacje i jest on poprawny. Nie wiem jednak skąd się on bierze.


\(8!-{4 \choose 1}*7!+{4 \choose 2}*6!- {4 \choose 3}*5! +{4 \choose 4}*4!\)

\({4 \choose 4}*4!\) tyle jest permutacji, w których wszystkie cztery parzyste stoją na swoim miejscu,
\({4 \choose 3}*5!\) tyle jest permutacji, w których każde trzy parzyste stoją na swoim miejscu (pozostała gdzie chce),
\({4 \choose 2}*6!\) tyle jest permutacji, w których każde dwie parzyste stoją na swoim miejscu (pozostałe gdzie chcą),
\({4 \choose 1}*7!\) tyle jest permutacji, w których każda parzysta stoi na swoim miejscu .

\({4 \choose 3}*5!-{4 \choose 4}*4!\) tyle jest permutacji, w których każde trzy parzyste stoją na swoim miejscu ale cztery to już nie. Czyli dokładnie trzy parzyste stoją na swoim miejscu

\({4 \choose 2}*6!- \left( {4 \choose 3}*5!-{4 \choose 4}*4!\right)\) tyle jest permutacji, w których każde dwie parzyste stoją na swoim miejscu ale trzy to już nie. Czyli dokładnie dwie parzyste stoją na swoim miejscu

\({4 \choose 1}*7! -\left[{4 \choose 2}*6!- \left( {4 \choose 3}*5!-{4 \choose 4}*4!\right) \right]\) tyle jest permutacji, w których wszystkie parzyste stoją na swoim miejscu ale dwie to już nie. Czyli dokładnie jedna parzysta stoi na swoim miejscu.

No i jeszcze jeden krok i masz co trzeba

kylercopeland pisze: 2) Przed spektaklem 7 osób zostawiło w szatni swoje parasole. Na ile sposobów parasole te mogą zostać zwrócone pod warunkiem, że co najmniej dwie osoby otrzymają swoje parasole.

To wydaje się znacznie łatwiejsze:
\({7 \choose 2 } \cdot 5!=2520\) wybieramy dwie osoby, które otrzymają swoje parasole, a pozostałym dajemy "jak popadnie".

Pierwsze zadanie było dobrze, drugie niestety nie. Powinno być 7! - !7 -7*!6

kylercopeland pisze: Powinno być 7! - !7 -7*!6

To wynik z książki, czy koszałki jakiegoś ignoranta na innym forum ?

Z książki.

kylercopeland pisze: Powinno być 7! - !7 -7*!6

Co oznacza zapis "!7" oraz "!6" ?

@Radagast
To podsilnia. Zlicza liczbę nieporządków: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nieporz%C4%85dek

@kylercopeland
A jaka to książka?