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1)
\(\lim_{ x\to 0^{+} } \sqrt{x} \sin^{2} \frac{1}{x}\)
2)
\(\lim_{x \to - \infty }e^{x} cosx\)
3)
\(\lim_{ x\to \infty }(sinx- e^{x})\)
4)
\(\lim_{ x\to \infty } \frac{2+sinx}{ x^{2} }\)
5)
\(\lim_{ x\to \infty } 2^{x}(2+cosx)\)
Oszacowania z grubsza rozumiem, ale jak to zgrabnie zapisać?

1)
\(\sqrt{x} \to 0\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;sin^2(+ \infty ) \to <-1;1>\\stąd\\ \Lim_{x\to 0^+}f(x)=0\)
2)
\(\Lim_{x\to -\infty}f(x)=0\)
\(sinx\in <-1;1>\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;e^x \to 0\;\;\;dla\;\;\;x \to -\infty)
3)
\(sinx\in <-1;1>\\e^x \to + \infty\\ \Lim_{x\to + \infty }(sinx-e^x)=- \infty\)
4)
\(\Lim_{x\to \infty}( \frac{2}{x^2}+ \frac{2+sinx}{x^2}=0+0=0\\
2+sinx \in <1;3>\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x^2 \to + \infty\)
5)
\(\Lim_{x\to + \infty }2^x=+ \infty \\2+cosx\in <1;3>\)\)

Dziękuję GALEN, ale miało być zgrabnie

1)
\(\lim_{ x\to 0^{+} } \sqrt{x} \cdot 0 \le \lim_{ x\to 0^{+} } \sqrt{x} \sin^{2} \frac{1}{x} \le \lim_{ x\to 0^{+} } \sqrt{x}\)
\(0 \le \lim_{ x\to 0^{+} } \sqrt{x} \sin^{2} \frac{1}{x} \le 0\)
\(\lim_{ x\to 0^{+} } \sqrt{x} \sin^{2} \frac{1}{x} = 0\)
2)
\(\lim_{x \to - \infty }e^{x} \cdot (-1) \le \lim_{x \to - \infty }e^{x} cosx \le \lim_{x \to - \infty }e^{x}\)
....
3)
\(\lim_{ x\to \infty }(-1- e^{x}) \le \lim_{ x\to \infty }(sinx- e^{x}) \le \lim_{ x\to \infty }(1- e^{x})\)
....
4)
\(\lim_{ x\to \infty } \frac{2-1}{ x^{2} } \le \lim_{ x\to \infty } \frac{2+sinx}{ x^{2} } \le \lim_{ x\to \infty } \frac{2+1}{ x^{2} }\)
.....
5)
\(\lim_{ x\to \infty } 2^{x}(2-1) \le \lim_{ x\to \infty } 2^{x}(2+cosx) \le \lim_{ x\to \infty } 2^{x}(2+1)\)
.....