forum.zadania.info

Mam 2 zadania, z którymi mam problem:

\(\sqrt{x^2+7} > \sqrt{2}x + 3\sqrt{2}\)

\(|x^2 -4| + |x^2-1| = 4x+1\)

Ukośnik pisze:Mam 2 zadania, z którymi mam problem:

\(\sqrt{x^2+7} > \sqrt{2}x + 3\sqrt{2}\)

\(\sqrt{x^2+7}>\sqrt{2}(x+3)\)

dla \(x\geq -3\):
\(x^2+7>2(x+3)^2\\
x^2+7>2x^2+12x+18\\
-x^2-12x-11>0\\
-(x+1)(x+11)>0\\
x\in [-3,-1)\)

jeśli x<-3 to nierówność jest spełniona dla każdego x

odp. \(x\in (-\infty, -1)\)

Ukośnik pisze:Mam 2 zadania, z którymi mam problem:


\(|x^2 -4| + |x^2-1| = 4x+1\)

1. \(x\in (-\infty, -2]\cup [2,\infty)\)
\(x^2-4+x^2-1=4x+1\\
2x^2-4x-6=0\\
x=3\\
x=-1\notin (-\infty, -2]\cup [2,\infty)\)

2. \(x\in (-2,1]\cup [1,2)\)
\(-x^2+4+x^2-1=4x+1\\
-4x=-2\\
x=0,5\notin (-2,-1]\cup [1,2)\)

3. \(x\in (-1,1)\)
\(-x^2+4-x^2+1=4x+1\\
-2x^2-4x+4=0\\
x^2+2x-2=0\\
x=-1-\sqrt{3}\notin (-1,1)\\
x=-1+\sqrt{3}\)


odp. \(x\in\{-1+\sqrt{3}, 3\}\)

1. Robiąc sam to zadanie, wyszedł mi przedział (-11,-1). Nie rozumiem, dlaczego konieczny jest warunek \(x\ge-3\), ani dlaczego jeśli x<-3 to nierówność jest spełniona dla każdego x.

2. W tym zadaniu wyszło mi podobnie, ale nie rozumiem, kiedy nawias powinien być domknięty, a kiedy otwarty. Dlaczego -2 jest domknięte w pierwszym przedziale, a nie, np. w 2?

Ukośnik pisze:1. Robiąc sam to zadanie, wyszedł mi przedział (-11,-1). Nie rozumiem, dlaczego konieczny jest warunek \(x\ge-3\), ani dlaczego jeśli x<-3 to nierówność jest spełniona dla każdego x.

jeśli x<-3 to lewa strona nierówności jest ujemna, a prawa dodatnia. Zawsze liczba dodatnia będzie większa od ujemnej, stąd nierówność jest spełniona dla każdego x

Przedziały - gdzie domkniesz tam będzie dobrze

Dobra, już rozumiem. Dzięki!