podzielność liczb
: 31 paź 2017, 20:19
Udowodnij,że jeśli n \in N dzieli się przez5 z resztą 11 to n^8+3n^4-4 dzieli sie przez 100
Dziwna ta treść skoro resztę 11 można dalej dzielić przez 5 dostając resztę 1.sylwia990116 pisze:Udowodnij,że jeśli n \in N dzieli się przez5 z resztą 11 to n^8+3n^4-4 dzieli sie przez 100
1)
a)
\(n^8+3n^4-4=(n^4+4)(n^4-1)=(n^4+4)(n^2+1)(n+1)(n-1)\)
Dla parzystego n pierwszy czynnik jest podzielny przez 4, a dla nieparzystego n pozostałe trzy czynniki są parzyste.
b)
\(n=5k+1\)
\(n^8+3n^4-4=(n^4+4)(n^4-1)=(n^4+4)(n^2+1)(n+1)(n-1)=\\=((5k+1)^4+4)((5k+1)^2+1)((5k+1)+1)((5k+1)-1)=((5k+1)^4+4)((5k+1)^2+1)(5k+2)5k\)
Pierwszy i czwarty składnik jest podzielny przez 5
2)
Alternatywnie możesz podzielność przez 100 wykazać indukcyjnie dla wyrażenia
\((5k+1)^8+3(5k+1)^4-4\)