forum.zadania.info

Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, dla których \(n^2+1\) jest podzielne przez \(13\)

\(n=13k \pm 5 \wedge k \in \nn_+\)

Spotkałem się z takim rozumowaniem, tyle że zupełnie nie rozumiem z czego on wynika? Nawet autor książki takowe proponuje, ale nigdzie nie mogę dokopać się dokładniejszego wyjaśnienia stąd szukałem alternatywnego sposobu

Liczbę n dzielę na przypadki dające różne reszty w dzieleniu przez 13.
0)
\(n=13k:\\
n^2+1=(13k)^2+1=13(13k^2)+1 \neq 13N\)
1)
\(n=13k+1:\\
n^2+1=(13k+1)^2+1=13(13k^2+2k)+2 \neq 13N\)
2)
\(n=13k+2:\\
n^2+1=(13k+2)^2+1=13(13k^2+4k)+5 \neq 13N\)
3)
...
4)
....
5)
\(n=13k+5:\\
n^2+1=(13k+5)^2+1=13(13k^2+10k)+26=13(13k^2+10k+2)\)
te liczby spełniają i jest ich nieskończenie wiele
6)
....
...
...
12)
\(n=13k+12:\\
n^2+1=(13k+12)^2+1=13(13k^2+24k)+149=13(13k^2+24k+11)+6 \neq 13N\)

dzięki wielkie!

kerajs pisze:Liczbę n dzielę na przypadki dające różne reszty w dzieleniu przez 13.
0)
\(n=13k:\\
n^2+1=(13k)^2+1=13(13k^2)+1 \neq 13N\)
1)
\(n=13k+1:\\
n^2+1=(13k+1)^2+1=13(13k^2+2k)+2 \neq 13N\)
2)
\(n=13k+2:\\
n^2+1=(13k+2)^2+1=13(13k^2+4k)+5 \neq 13N\)
3)
...
4)
....
5)
\(n=13k+5:\\
n^2+1=(13k+5)^2+1=13(13k^2+10k)+26=13(13k^2+10k+2)\)
te liczby spełniają i jest ich nieskończenie wiele
6)
....
...
...
12)
\(n=13k+12:\\
n^2+1=(13k+12)^2+1=13(13k^2+24k)+149=13(13k^2+24k+11)+6 \neq 13N\)

Czy w chwili, gdy dojdę do \(n=13k+5\) mogę napisać uzasadnienie, że faktycznie już na tym etapie istnieje nieskończenie wiele takich liczb, czy jednak muszę jeszcze rozważać kolejne możliwości
"6)
....
...
...
12) " by nikt nie doczepił się, że dowód jest jakby urwany?

Wystarczy \(n=13 k+5\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;k\in N\)
To już jest równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych,czyli jest nieskończenie wiele takich liczb.

forum.zadania.info

Nieskończenie wiele liczb podzielnych przez 13

Nieskończenie wiele liczb podzielnych przez 13

Re: Nieskończenie wiele liczb podzielnych przez 13