forum.zadania.info

Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej \(n>0\),

\(8|11^n-3^n\)

Proszę o wskazówki lub rozwiązanie

\(11^n-3^n=8\cdot x\;\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;x\in C\)
Dowód indukcyjny:
\(Dla \;\;n=1\;\;jest\\x=11-3=8=8 \cdot 1\;\;\;\;\;\;czyli\;\;\;t=1\)
Zakładasz prawdziwość dla n=k i dowodzisz tw. dla n=k+1
\(Zał.\\11^k-3^k=8t\;\;\;\;\;czyli\;\;\;\;\;11^k=8t+3^k\)
Teza dla n=k+1
\(11^{k+1}-3^{k+1}=11 \cdot 11^k-3 \cdot 3^k=11(8t+3^k)-3 \cdot 3^k=88t+11 \cdot 3^k-3 \cdot 3^k=88t+8 \cdot 3^k=\\=8(11t+3^k)=8s\;\;\;\;\;i\;\;\;\;s=11t+3^k \in C\)

Dowód dla k+1 możesz rozpisać również tak:
\(11 \cdot 11^k-3 \cdot 3^k=(3+8) \cdot 11^k-3 \cdot 3^k=3 \cdot 11^k+8 \cdot 11^k-3 \cdot 3^k=3(11^k-3^k)+8 \cdot 11^k=\\=3 \cdot 8t+8 \cdot 11^k=8(3t+11^k)=8s\;\;\;\;\;\;\;s=3t+11^k \in C\)

Ale łatwizna, że tez nie wpadłem na ten rozkład 11=3+8, dzięki !