forum.zadania.info

\(|2x + 2| + 3x = |x| + 2\)
Mam rozwiązać to równanie. Zamieniam najpierw stronami zmienne.
\(|2x + 2| - |x| = 2 - 3x\)

\(\begin{cases}
-(2x + 2) + x = 2 - 3x \iff x < -1\\
2x + 2 + x = 2 - 3x \iff -1 \le x < 0\\
2x + 2 - x = 2 - 3x \iff x \ge 0
\end{cases}\)

\(\begin{cases}
2x = 4\\
5x = 0\\
4x = 0
\end{cases}\)

\(\begin{cases}
x = 2\\
x = 0
\end{cases}\)

\(x \in \left\{0, 2 \right\}\)

W odpowiedziach mamy jednak tylko \(x = 0\).
Domyślam się, że to przez niewyznaczenie zakresu na początku zadania.
\(|2x + 2| - |x| = 2 - 3x\)
\(2 - 3x \ge 0\)
\(x \le \frac{2}{3} \So x \in (- \infty ; \frac{2}{3}>\)

Wtedy moglibyśmy wyrzucić 2, bo nie spełnia założeń równania i mamy spokój. Chciałbym jednak dowiedzieć się, czemu mielibyśmy to zrobić? Z tego co zrozumiałem, powyższe działania stosuje się tylko wtedy gdy na prawo od wartości bezwzględnej w równaniu mamy zmienną. Nie chcemy by wartość bezwzględna byłą równa liczbie ujemnej więc tworzymy zakres \(x\) dla których wynik jest dodatni. Ale czy w \(|2x + 2| - |x| = 2 - 3x\) też powinniśmy tak zrobić? W takiej sytuacji jest kilka \(x\) dla których prawa strona wyjdzie ujemna (np. -1), więc czemu mielibyśmy wyłączać takie liczby z zakresu? Proszę o wytłumaczenie tego przypadku. Za wszelkie odpowiedzi jestem z góry wdzięczny.

Euvarios pisze:\(|2x + 2| + 3x = |x| + 2\)
Mam rozwiązać to równanie. Zamieniam najpierw stronami zmienne.
\(|2x + 2| - |x| = 2 - 3x\)

\(\begin{cases}
-(2x + 2) + x = 2 - 3x \iff x < -1\\
2x + 2 + x = 2 - 3x \iff -1 \le x < 0\\
2x + 2 - x = 2 - 3x \iff x \ge 0
\end{cases}\)

\(\begin{cases}
2x = 4\\
5x = 0\\
4x = 0
\end{cases}\)

I przypadek
\(x<-1\)
wtedy równanie ma postać:
\(-(2x+2)+x=2-3x\\\)
x=2\notin (-\infty, -1)
dlatego nie bierzemy 2 pod uwagę

II przypadek
\(-1\leq x<0\\
2x + 2 + x = 2 - 3x\\
x=0\notin [-1,0)\)

III przypadek
\(x\geq 0\\
2x + 2 - x = 2 - 3x\\
x=0\in [0,\infty)\)

czyli jedynym rozwiązaniem jest \(x=0\)

Dziękuję bardzo za wytłumaczenie. Zapomniałem, że określane przypadki nie są tylko dla ozdoby, ale trzeba też brać je pod uwagę przy końcowym wyniku. Teraz powinno pójść łatwiej.