forum.zadania.info

Wykaż, że jeśli kąty \(\alpha\), \(\beta\),\(\gamma\) są kątami trójkąta i zachodzi zawiązek sin\(\gamma\)=\(\frac{sin \alpha+sin \beta }{cos \alpha+cos \beta }\), to trójkąt jest prostokątny. Brak pomysłu. Pierwszy raz się z takim zadaniem spotykam.

\(\alpha + \beta + \gamma =180^\circ \So \gamma =180^\circ-( \alpha + \beta )\)
\(\sin \gamma =\sin \left[180^\circ-( \alpha + \beta ) \right] =\sin( \alpha + \beta )=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
Wzór z zadania przybiera postać
\((\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)(\cos\alpha+\cos\beta)=\sin\alpha+\sin\beta\)

Poopuszczaj nawiasy i skorzystaj (dwa razy) z jedynki trygonometrycznej:

• \(\cos^2\beta=1-\sin^2\beta\,\,\, \wedge \,\,\, \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\)

Po pogrupowaniu i podzieleniu obustronnie przez \((\sin\alpha+\sin\beta)\) dojdziesz do wzoru
\(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=0 \iff \cos(\alpha+\beta)=0 \iff \alpha +\beta=90^\circ \So \gamma=90^\circ\) czyli trójkąt jest prostokątny.

Przekształcenia zrób samodzielnie - w razie KONKRETNYCH kłopotów, pytaj.