forum.zadania.info

Dla jakich wartości parametru m funkcja \(f(x)=x^2-(m+1)x+m^2-1\) ma dwa różne miejsca zerowe \(x_1,x_2\) takie, że I\(x_1\)I+I\(x_2\)I>\(\sqrt{5}\)?

\(\Delta>0 \So (m+1)(-3m+5)>0 \So \left( m<-1 \vee m> \frac{5}{3} \right)\)
\(x_1x_2= \frac{m^2-1}{1}=m^2-1\)
Zauważ, że iloczyn pierwiastków jest dodatni dla wszystkich wartości parametru m wyznaczonych z dodatniego wyróżnika. Oba pierwiastki mają ten sam znak.
a) Oba są dodatnie gdy:
\(\begin{cases} x_1+x_2>0\\ \Delta>0 \end{cases} \So m> \frac{5}{3}\)
a wtedy:
\(x_1+x_2> \sqrt{5} \\
m+1> \sqrt{5} \\
m> \sqrt{5} -1\)
porównując to rozwiązanie z założeniem:
\(\begin{cases} m> \frac{5}{3} \\ m> \sqrt{5} -1\end{cases} \So m> \frac{5}{3}\)
b) Oba są ujemne gdy:
\(\begin{cases} x_1+x_2<0\\ \Delta>0 \end{cases} \So m<-1\)
a wtedy:
\(-x_1-x_2> \sqrt{5} \\
m+1< -\sqrt{5} \\
m< -\sqrt{5} -1\)
porównując to rozwiązanie z założeniem:
\(\begin{cases} m< -1 \\ m< -\sqrt{5} -1\end{cases} \So m<-\sqrt{5} -1\)

Rozwiązanie to suma rozwiązań z obu przypadków:
\(\left( m<-\sqrt{5} -1 \right) \vee \left( m> \frac{5}{3}\right)\)

W odpowiedzi w zbiorze jest \(m \in (0, \frac{2}{3} )\cup (-1- \sqrt{5},1 \frac{2}{3})\)

kerajs pisze:\(\Delta>0 \So (m+1)(-3m+5)>0 \So \left( m<-1 \vee m> \frac{5}{3} \right)\)

tu się pozwolę nie zgodzić



1.
\(\Delta>0\\
(m+1)^2-4(m+1)(m-1)>0\\
(m+1)(m+1-4m+4)>0\\
(m+1)(-3m+5)>0\\
m\in (-1,\frac{5}{3})\)

2.
\(|x_1|+|x_2|\geq 5\\
x^2_1+x_2^2+2|x_1x_2|>5\\
(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|>5\\
(m+1)^2-2(m^2-1)+2|m^2-1|-5>0\\
-m^2+2m-2+2|m^2-1|>0\)

A. jeśli \(m\in (-1,1)\)
\(-m^2+2m-2-2m^2+2>0\\
-m(3,-2)>0\\
m\in (0,\frac{2}{3})\)

B. jeśli \(m\in (1,\frac{5}{3})\)
\(-m^2+2m-2+2m^2-2>0\\
m^2+2m-4>0\\
m\in (-1+\sqrt{5},\frac{5}{3})\)


Ostatecznie: \(m\in (0,\frac{2}{3})\cup (-1+\sqrt{5},\frac{5}{3})\)

Ups, cóż za żałosna wpadka.
Sorry.