forum.zadania.info

Udowodnij, że jeśli NWD(m,n)=1, to NWD(mn,m+n)=1
m, n całkowite

z góry dziękuję za pomoc

Dowód nie wprost (przez zaprzeczenie):

załóżmy, że liczby \(mn\) oraz \(m+n\) nie są względnie pierwsze,
czyli mają wspólny dzielnik \(k\) będący liczbą pierwszą.
\(k|mn \So k|m \vee k|n\) (bo \(k\) jest liczbą pierwszą) wtedy,
wobec faktu,że \(k|m+n\) ( bo \(k\) jest wspólnym dzielnikiem),
\(k\) musi również dzielić \(n\) zatem liczby \(m\), \(n\) nie były względnie pierwsze
ckd