forum.zadania.info

Znajdź wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich takie, że:
\(1/x+1/y=1/z\)

Dzięki

Dobra będzie każda trójka postaci:

1) \(x=y=2k,z=k,k \in C\)
wtedy:
\(\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{2k}+ \frac{1}{2k}= \frac{2}{2k} = \frac{1}{k} = \frac{1}{z}\)
czyli np:
\(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = \frac{1}{1}\)
\(\frac{1}{4}+ \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{6}+ \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\)
itd
2) \(x=k(k+1),y=k+1,z=k,k \in C\)
wtedy:
\(\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{k(k+1)}+ \frac{1}{k+1}= \frac{1}{k(k+1)}+ \frac{k}{k(k+1)}= \frac{1}{k}= \frac{1}{z}\)
czyli np:
\(\frac{1}{6}+ \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{12}+ \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{20}+ \frac{1}{5} = \frac{1}{4}\)
itd
Pozostało dowieść , że innych nie ma (o ile to prawda).

Myślę, że w dowodzie można by się posłużyć twierdzeniem zamieszczonym prze Ciebie tu: viewtopic.php?f=46&t=83214 oczywiście, po jego uprzednim udowodnieniu.
Jak na gimnazjum to są to dość trudne zadania, chociaż przyznam, że nie wymagają wiadomości spoza gimnazjum.

Zadanie zrobiłam wykorzystując właśnie wskazane twierdzenie. Potrzebuję dowodu, a nie radzę sobie z nim.
Będę wdzięczna za pomoc

udowodniłam : viewtopic.php?f=46&t=83214&p=303425#p303425

DZIĘKUJĘ!!!