Dana jest prosta k o równaniu y= 2x - 1, prosta m o równaniu y= 1 i punkt P( 5, 4 ).
a) Wyznacz współrzędne punktów P1 i P2 , wiedząc, że P1 jest obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej k, a jest obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej m.
b) Wyznacz punkty Q, S przecięcia prostej P1P2 odpowiednio z prostą k i prosta m.
c) Wykaż, że spośród wszystkich trójkątów, których jednym z wierzchołków jest punkt P, drugim wierzchołkiem jest punkt należący do prostej k, a trzecim - punkt należący do prostej m, najmniejszy obwód ma trójkąt PQS.
proste
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Równanie prostej prostopadłej do k przechodzącej przez punkt P:
\(y=-\frac{1}{2}x+k\\4=-\frac{1}{2}\cdot5+k\\k=\frac{13}{2}\\PP_1:\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}\\P_1=(a;\ -\frac{1}{2}a+\frac{13}{2})\)
Odległości punktów P i P_1 od prostej k są równe:
\(\frac{|2\cdot5-4-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|2a+\frac{1}{2}a-\frac{13}{2}-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\|\frac{5}{2}a-\frac{15}{2}|=5\\\frac{5}{2}a-\frac{15}{2}=5\ \vee \ \frac{5}{2}a-\frac{15}{2}=-5\\a=5\ \vee \ a=1\\-\frac{1}{2}a+\frac{13}{2}=4\ \vee \ -\frac{1}{2}a+\frac{13}{2}=6\\P_1=(1;\ 6)\)
Prosta prostopadła do prostej m przechodząca przez punkt P ma równanie x=5. Odległość punktu \(P_2\) od prostej y=1 jest taka sama jak odległość punktu P, czyli równa 3. \(P_2=(5,\ -2)\).
Prosta \(P_1P_2\):
\(\frac{y-6}{x-1}=\frac{-2-6}{5-1}\\\frac{y-6}{x-1}=-2\\y-6=-2x+2\\P_1P_2:\ 2x+y-8=0\)
\(Q=P_1P_2 \cap k\\ \begin{cases}2x+y-8=0\\2x-y-1=0 \end{cases} \\ \begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{7}{2} \end{cases} \\Q=(\frac{9}{4};\ \frac{7}{2})\)
\(S=P_1P_2 \cap m\\ \begin{cases}2x+y-8=0\\y=1 \end{cases} \\ \begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=1 \end{cases} \\S=(\frac{3}{2};\ 1)\)
Ponieważ punkty \(P\ i\ P_1\) są symetryczne względem prostej k, a punkt Q leży na tej prostej, więc odcinki \(PQ\ i\ P_1Q\) są symetryczne względem tej prostej, czyli \(|PQ|=|P_1Q|\).
Podobnie: \(|PS|=|P_2S|\)
Czyli obwód trójkata PQS jest równy :\(|PQ|+|QS|+|SP|=|P_1Q|+|QS|+|SP_2|\). Czyli obwód trójkąta PQS jest równy długości odcinka \(P_1P_2\).
Jeśli na prostej k zaznaczymy punkt R, różny od punktu Q, to obwód trójkąta PRS jest równy: \(|PR|+|RS|+|SP|=|P_1R|+|RS|+|SP|\) (odcinki \(PR\ i\ P_1R\) są symetryczne względem prostej k). Czyli obwód trójkata PRS jest równy długości łamanej \(P_1RSP_2\). Z nierówności trójkąta wynika, że \(|PR|+|RS|=|P_1R|+|RS|>|PS|\).
Wynika stąd, że dla tak obranych punktów Q, S obwód trójkąta jest najmniejszy.
\(y=-\frac{1}{2}x+k\\4=-\frac{1}{2}\cdot5+k\\k=\frac{13}{2}\\PP_1:\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}\\P_1=(a;\ -\frac{1}{2}a+\frac{13}{2})\)
Odległości punktów P i P_1 od prostej k są równe:
\(\frac{|2\cdot5-4-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|2a+\frac{1}{2}a-\frac{13}{2}-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\|\frac{5}{2}a-\frac{15}{2}|=5\\\frac{5}{2}a-\frac{15}{2}=5\ \vee \ \frac{5}{2}a-\frac{15}{2}=-5\\a=5\ \vee \ a=1\\-\frac{1}{2}a+\frac{13}{2}=4\ \vee \ -\frac{1}{2}a+\frac{13}{2}=6\\P_1=(1;\ 6)\)
Prosta prostopadła do prostej m przechodząca przez punkt P ma równanie x=5. Odległość punktu \(P_2\) od prostej y=1 jest taka sama jak odległość punktu P, czyli równa 3. \(P_2=(5,\ -2)\).
Prosta \(P_1P_2\):
\(\frac{y-6}{x-1}=\frac{-2-6}{5-1}\\\frac{y-6}{x-1}=-2\\y-6=-2x+2\\P_1P_2:\ 2x+y-8=0\)
\(Q=P_1P_2 \cap k\\ \begin{cases}2x+y-8=0\\2x-y-1=0 \end{cases} \\ \begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{7}{2} \end{cases} \\Q=(\frac{9}{4};\ \frac{7}{2})\)
\(S=P_1P_2 \cap m\\ \begin{cases}2x+y-8=0\\y=1 \end{cases} \\ \begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=1 \end{cases} \\S=(\frac{3}{2};\ 1)\)
Ponieważ punkty \(P\ i\ P_1\) są symetryczne względem prostej k, a punkt Q leży na tej prostej, więc odcinki \(PQ\ i\ P_1Q\) są symetryczne względem tej prostej, czyli \(|PQ|=|P_1Q|\).
Podobnie: \(|PS|=|P_2S|\)
Czyli obwód trójkata PQS jest równy :\(|PQ|+|QS|+|SP|=|P_1Q|+|QS|+|SP_2|\). Czyli obwód trójkąta PQS jest równy długości odcinka \(P_1P_2\).
Jeśli na prostej k zaznaczymy punkt R, różny od punktu Q, to obwód trójkąta PRS jest równy: \(|PR|+|RS|+|SP|=|P_1R|+|RS|+|SP|\) (odcinki \(PR\ i\ P_1R\) są symetryczne względem prostej k). Czyli obwód trójkata PRS jest równy długości łamanej \(P_1RSP_2\). Z nierówności trójkąta wynika, że \(|PR|+|RS|=|P_1R|+|RS|>|PS|\).
Wynika stąd, że dla tak obranych punktów Q, S obwód trójkąta jest najmniejszy.
Ostatnio zmieniony 12 mar 2010, 20:28 przez irena, łącznie zmieniany 1 raz.
Jeśli punkt P\\(P_1\)leży na prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}\), to współrzędne tego punktu spełniają jej równanie, czyli zależność między współrzędnymi punktu jest taka sama, jak między zmiennymi funkcji. Jeśli za pierwszą współrzędną przyjąć dowolne a, to druga współrzędna punktu musi być równa \(-\frac{1}{2}a+\frac{13}{2}\).
Odległość punktu \(P_2\) od prostej m: y=1, czyli y-1=0 jest równe 3. Punkt ten leży na prostej o równaniu x=5. Czyli \(P_2=(5,\ k)\).
\(\frac{|0+k-1|}{\sqrt{0^2+1^2}}=3\\|k-1|=3\\k-1=3\ \vee \ k-1=-3 \Leftrightarrow k=4\ \vee \ k=-2\)
Ponieważ (5, 4) to współrzędne punktu P, więc punkt \(P_2=(5,\ -2)\)
Odległość punktu \(P_2\) od prostej m: y=1, czyli y-1=0 jest równe 3. Punkt ten leży na prostej o równaniu x=5. Czyli \(P_2=(5,\ k)\).
\(\frac{|0+k-1|}{\sqrt{0^2+1^2}}=3\\|k-1|=3\\k-1=3\ \vee \ k-1=-3 \Leftrightarrow k=4\ \vee \ k=-2\)
Ponieważ (5, 4) to współrzędne punktu P, więc punkt \(P_2=(5,\ -2)\)