forum.zadania.info

Znajdź wszystkie całkowite rozwiązania równania \(x^3\)-\(y^3\)=\((x-y)^2\)
Z góry dzięki

Może tak
Jeżeli jedna ze zmiennych jest zerem to i druga też.
Para \((0,0)\) spełnia równanie.
..........................................................................
Czyli : \(x \neq 0\) i \(y \neq 0\)
Przepiszmy równanie w postaci : \(x \cdot y= ( \frac{x-y}{x \cdot y} )^2\)
Widać ,że rozwiązania jeżeli są to mają zgodne znaki : \(x \cdot y>0\)
.........................................................................
Ponieważ \(x \cdot y \in N\) \(\\) to \(\\) \(x-y \ge x \cdot y\) \(\\) czyli\(\\) \(0 \ge x \cdot y-(x-y)\)
ale \(\\) \((x+1) \cdot (y-1) +1= x \cdot y - (x-y)\)
Stąd : \(\\) \(0 \ge(x+1) \cdot (y-1) +1\)
........................................................................
Teraz należy wyznaczyć możliwe rozwiązania powyższej nierówności ( warunek konieczny ) , ograniczając się do \(x \cdot y >0\)
Niestety takowych nie ma .
........................................................................
O ile gdzieś się nie zepsułem.
.......................................................................
Czyli jedyną parą jest \((0,0)\)

Panko pisze: Czyli jedyną parą jest \((0,0)\)

(1,0) też jest rozwiązaniem

He ,he . Ja rozwiązałem w liczbach całkowitych równanie : \(x^3 \cdot y^3=(x-y)^2\) .
Teraz dostrzegłem (niedowidzę ) ,że powinno być \(x^3-y^3=(x-y)^2\)

\((x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)^2\\
(x-y)(x^2+xy+y^2-x+y)=0\\
(x-y) \frac{1}{2} \left[ (x+y)^2+(x-1)^2+(y+1)^2-2\right]=0\\
x=y \vee (x+y)^2+(x-1)^2+(y+1)^2=2\)
\(\begin{cases}x \in C \\ y=x \end{cases} \vee \begin{cases}x=2 \\ y=-1 \end{cases} \vee \begin{cases}x =1 \\ y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x =1 \\ y=-2 \end{cases} \vee \begin{cases}x =0 \\ y=1 \end{cases}\)