forum.zadania.info

Mam problem z tym równaniem: y'+tgy=x/cosy.
Mnożę je przez cosy obustronnie i dostaje y'cosy+siny=x i co mam z tym dalej robić?
Z góry dziękuje za pomoc.

\((\sin y-x)dx+\cos y dy=0\\
(\sin y-x)'_y \neq (\cos y)'_x\\
m(x)(\sin y-x)dx+m(x)\cos y dy=0\\
(m(x)(\sin y-x))'_y=(m(x)\cos y)'_x\\
m(x)\cos y)=m'(x)\cos y\\
m'(x)=m(x)\\
m(x)=e^x\\
e^x(\sin y-x)dx+e^x\cos y dy=0\)
A to jest równaniem typu różniczka zupełna. Poradzisz sobie dalej?

w zasadzie to nie bardzo rozumiem dlaczego dałeś te m(x). w notatkach mam jeszcze napisane żeby podstawić siny=z ale nie wiem dlaczego.

Bo widzisz, ja nie zauważyłem tego podstawienia sprowadzającego równanie do równania liniowego, lecz metodą poszukiwania czynnika całkującego (to m(x) o które pytasz) doprowadziłem równanie do równania zupełnego. Możesz je rozwiązać (o ile taki typ równania znasz i potrafisz rozwiązywać) lub liczyć zgodnie z podpowiedzią:
\(z= \sin y \So z'=\cos y \cdot y'\) co daje równanie liniowe:
\(z'+z=x\\
...\\
z=e^{-x}+x-1\\
\sin y=e^{-x}+x-1\)

mógłbyś mi to rozpisać jak z tym dalej postępować bo jak wrzuciłem to równanie na kalkulator równań to wyszedł mi wynik y(x)=-sin^(-1)(C1e^(-x)-x+1)

To kiepsko, że równania liniowego nie umiesz rozwiązać. Zwykle używa się metody uzmienniania stałej, rzadziej czynnika całkującego. W tym przykładzie współczynniki są stałe więc wystarczy przewidywanie.
\(z'+z=x\\
RU
z'+z=0\\
\frac{dz}{z}=-dx\\
\ln z=-x+C\\
\ln z=\ln e^{-x}+\ln C\\
z_o=Ce^{-x}\)
\(z_s=Ax+B\\
(A)+(Ax+B)=x\\
A=1 \wedge B=-1\\
z=z_o+z_s=Ce^{-x}+x-1\\
\sin y=Ce^{-x}+x-1\)
I taką uwikłaną postać wyniku bym zostawił (przy okazji widać, że w poprzednim poscie brakowało stałej C. Miałeś mieć satysfakcję znajdując ten oczywisty brak, ale nie wpadłem na to że w ogóle nie umiesz rozwiązać równania liniowego).

Kalkulator próbuje podać jawną postać:
\(y=\arcsin (Ce^{-x}+x-1)\)
zupełnie niepotrzebnie wrzucając tam minusy:
\(y=-\arcsin \left[ - (Ce^{-x}+x-1)\right]\)
I taki wynik wyświetla liczydło. Niestety ignoruje on okresowość wyniku który raczej powinien wyglądać tak:
\(y=k2 \pi +\arcsin (Ce^{-x}+x-1) \vee y=k2 \pi + \frac{ \pi }{2} -\arcsin (Ce^{-x}+x-1)\)

Dlatego ''lepszym'' wynikiem jest:
\(\sin y=Ce^{-x}+x-1\)

dzięki wielkie.