Wykaż podzielność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
marcin2447
- Często tu bywam
- Posty: 153
- Rejestracja: 12 cze 2009, 13:08
- Podziękowania: 35 razy
Liczbę daną można potraktować jak sumę stu wyrazów ciągu geometrycznego, którym pierwszy wyraz równy jest 3, liczba tych wyrazów jest 100, iloraz ciągu jest równy 3.
\(S_{100}=3\cdot\frac{1-3^{100}}{1-3}=3\cdot\frac{3^{100}-1}{2}=3\cdot\frac{(3^{50}-1)(3^{50}+1)}{2}\)
Liczba \(S_{100}\) jest liczbą naturalną. Jednym z czynników tej liczby jest 3, więc jest ona podzielna przez 3. Iloczyn w liczniku jest iloczynem dwóch liczb parzystych (\(3^{100}\) jest liczbą nieparzystą, więc zarówno liczba \(3^{100}-1\), jak i liczba \(3^{100}+1\) jest parzysta. Iloczyn tych liczb dzieli się więc przez 4. Zatem liczba \(\frac{(3^{100}-1)(3^{100}+1)}{2}\) dzieli się przez 2.
Liczba \(3+3^2+3^3+...+3^{100}=S_{100}\) dzieli się przez 3 i dzieli się przez 2. Dzielić się więc musi przez 6.
\(S_{100}=3\cdot\frac{1-3^{100}}{1-3}=3\cdot\frac{3^{100}-1}{2}=3\cdot\frac{(3^{50}-1)(3^{50}+1)}{2}\)
Liczba \(S_{100}\) jest liczbą naturalną. Jednym z czynników tej liczby jest 3, więc jest ona podzielna przez 3. Iloczyn w liczniku jest iloczynem dwóch liczb parzystych (\(3^{100}\) jest liczbą nieparzystą, więc zarówno liczba \(3^{100}-1\), jak i liczba \(3^{100}+1\) jest parzysta. Iloczyn tych liczb dzieli się więc przez 4. Zatem liczba \(\frac{(3^{100}-1)(3^{100}+1)}{2}\) dzieli się przez 2.
Liczba \(3+3^2+3^3+...+3^{100}=S_{100}\) dzieli się przez 3 i dzieli się przez 2. Dzielić się więc musi przez 6.