Strona 1 z 1
Funkcja różniczkowalna spełniająca warunki
: 18 cze 2017, 16:00
autor: karolakkkk
Czy istnieje funkcja różniczkowalna \(f: \rr \to \rr\) taka, że \(f(1)=f(-1)=1\), \(f(0)=0\), \(|f'(x)|\le 1\)?
: 18 cze 2017, 17:53
autor: radagast
O ile twierdzenie Lagrange'a jest prawdziwe , to nie istnieje.
: 18 cze 2017, 18:37
autor: kerajs
Inaczej:
Pochodna w punkcie to jednocześnie współczynnik kierunkowy stycznej do funkcji w tym punkcie.
Załóżmy że w przedziale \(\left(-1,0 \right)\) funkcja maleje od (-1,1) do (0,0). Skoro współczynnik kierunkowy stycznej nie może być mniejszy od -1 to jedyną możliwą funkcją na tym przedziale jest \(y=-x\). Z analogicznych powodów na przedziale \(\left(0,1 \right)\) jedyną możliwą funkcją jest \(y=x\). O ile tak zadana funkcja jest ciągła w x=0, to nie jest tam różniczkowalna. Wniosek: szukana funkcja nie istnieje.