forum.zadania.info

Znajdź wszystkie liczby naturalne \(k\) takie, że ciąg \(a_n\) zadany wzorem rekurencyjnym: \(a_1=k\), \(a_{n+1}=a_n^{2}-k\) jest zbieżny.

Jeśli ten ciąg jest zbieżny do granicy g, to musi ona być rozwiązaniem równania
\(g=g^2-k \iff g^2-g-k=0\). To równanie ma rozwiązanie, gdy \(\Delta\ge0 \iff 1+4k\ge0 \iff k\ge- \frac{1}{4}\)
... i to jest ten szukany warunek.

No tak, ale \(k\) musi być liczbą naturalną, Twoje rozwiązanie wskazuję na to, że to zachodzi dla wszystkich \(k\) naturalnych, co nie jest prawdą.

Nie jest prawdą, bo....? Trzeba zbadać kiedy ten ciąg jest ograniczony i monotoniczny.

Dzięki wielkie za pomoc, już czaje

Dla k>2 jest to ciąg rosnący ale nieograniczony - nie ma granicy
Dla k=1 jest to ciąg naprzemienny, więc też nie jest zbieżny.
Zbieżność jest możliwa tylko dla k=2.
Ciąg jest wtedy stały \(a_n=2\).