forum.zadania.info

agusiaczarna22 pisze:coś takiego?
\(= \sum_{i=0}^{k} \frac{i!}{i!(k-i)!} \cdot \frac{\lambda^k e^{-2 \lambda}}{i!}= \sum_{i=0}^{k} { k \choose i} \cdot \frac{\lambda^k e^{-2 \lambda}}{i!}= \frac{1}{i!} \cdot 2^k \cdot \lambda^k \cdot e^{-2 \lambda}\) ?

Ależ skąd! Dobrze kombinowałaś, ale nie może ci zostać i bez znaku sumy. Tak to miało być ...
\(= \frac{\lambda^k e^{-2 \lambda}}{k!} \cdot \sum_{i=0}^{k} \frac{k!}{i!(k-i)!}=\)

a teraz mogę napisać, że to z tej sumy to jest ten dwumian Newtona czy nie?:)

bo takto to już nie wiem:( a potrzebuje jak najszybciej dojść do końca:(

\(= \frac{\lambda^ke^{-2 \lambda}}{k!} \cdot \sum_{i=0}^{k} \frac{k!}{i!(k-i)!} = \frac{\lambda^ke^{-2 \lambda}}{k!} \cdot \left[ \frac{k!}{0!(k-0)!}+ \frac{k!}{1!(k-1)!}+..+ \frac{k!}{k!(k-k)!} \right]=\)
takie coś?

No przecież to jest \(\sum_{i=0}^{k} {k\choose i}=2^k\) - ręce opadają.
Sory, że się łudziłem, że to załapiesz!

\(\sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^ie^{-\lambda}}{i!}\cdot \frac{\lambda^{k-i}e^{-\lambda}}{(k-i)!}=\sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda^ke^{-2\lambda}}{i!(k-i)!}=\frac{\lambda^ke^{-2\lambda}}{k!}\sum_{i=0}^{k}\frac{k!}{i!(k-i)!}=\frac{\lambda^ke^{-2\lambda}}{k!}\sum_{i=0}^{k}{k\choose i}=\frac{\lambda^ke^{-2\lambda}}{k!}\cdot2^k=\frac{(2\lambda)^ke^{-2\lambda}}{k!}\)

czy druga wersja tak:
\(=\lambda^ke^{-2 \lambda} \cdot \sum_{i=0}^{k} \frac{k!}{i!(k-i)!} = \frac{ \lambda^ke^{-2 \lambda}}{k!} \sum_{i=0}^{k} { k \choose i } = \frac{\lambda^ke^{-2 \lambda}}{k!} \cdot { 2^k}\)

dodawałam post nie widząc odpowiedzi powyżej:) Dziękuję:)