forum.zadania.info

W jaki sposób mogę określić za pomocą metody najw. wiarygodności estymator parametru e w rozkł. geometr. \(\left( P=X\right)=e(1-e)^{g-1}, g=1,2,...\) na podstawie n-elem. próby \(\left(x_1,...,x_n \right)\) z tego rozkł.

Trochę to źle zapisane. Powinno być \(P(X=g)=e(1-e)^{g-1}\)
Ze względu na to, że będzie używany \(\ln\) zamiast e będę używał p, czyli \[P(X=g)=p(1-p)^{g-1},\,\,\, g=1,2,3,\ldots\] Dla próby \((x_1,\, x_2,\, \ldots, \,x_n),\,\,\, P(X=x_i)=p(1-p)^{x_i-1},\,\,i=1,\,2,\,3,\,\ldots,\,n\)
\(\ln \left[p(1-p)^{x_i-1} \right]=\ln p+(x_i-1)\ln(1-p)\)

Budujemy funkcję wiarygodności \(L(x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n,\,p)=\prod^n_{i=1}p(1-p)^{x_1-1}\)
Szukając wartości p, dla której funkcja L osiąga maksimum, weźmiemy pod uwagę \(\ln L\), bo ta funkcja w tym samym punkcie osiąga ekstremum.
\(\ln L= \sum_{i=1}^{n} \left[ \ln p+(x_i-1)\ln(1-p)\right]=n\ln p+\ln(1-p) \sum_{i=1}^{n}(x_1-1)=n\ln p+\ln(p-1) \left( \sum_{i=1}^{n}x_i -n \right)\)

Obliczamy pochodną po p tej funkcji i jej miejsce zerowe \(\hat{p}\) będące szukanym estymatorem:
\(0= \frac{ \partial \ln L}{ \partial p} = \frac{n}{\hat{p}}- \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i -n}{1-\hat{p}} \So n(1-\hat{p})=\hat{p} \left( \sum_{i=1}^{n}x_i -n\right)\) \[\hat{p}= \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}x_i}\] jest estymatorem największej wiarygodności.


THE END