forum.zadania.info

Sprawdź czy zbiór macierzy postaci : \(A=\begin{bmatrix}1& 0& a \\ 0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}\) , \(a \in \ccc\) tworzy grupę abelową ze względu na mnożenie.

Własności grupy abelowej znam.
Jednak nie wiem jak moge te własności zastosować w macierzach. Co do elementu neutralnego pewnie będzie to macierz identyczności, el odwrotnym \(A^{-1}\), ale jak sprawdzić łączność i przemienność (skoro mnożenie macierzy nie jest przemienne) ?

Ogólnie mnożenie macierzy nie jest przemienne, ale tutaj masz specyficzny zbiór macierzy.

• Macierz jednostkowa (identyczności, jak ją nazywasz) należy do zbioru dla a=0.
  Macierz odwrotna też, bo \(\begin{bmatrix} 1&0&a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} 1&0&-a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

Weź sobie dwie macierze tego rodzaju (w jednej a, w drugiej b) i sprawdź, czy czasami mnożenie takich macierzy nie jest przemienne .

czyli ten zbiór macierzy będzie grupą abelową tylko wtedy gdy a=0, czy dobrze myślę ? Bo inaczej nie znajdziemy el. neutralnego

Nie! Całkiem niedobrze myślisz.

Gdyby zero nie należało do \(\cc\), to by nie było grupą. Ponieważ należy więc jest szansa.
Gdyby w macierzy odwrotnej wyszło nie "-a" ale "1/a", to tez by nie była, bo dla a=0 nie byłoby elementu odwrotnego.
Zdaje się, że nie czujesz tego w ogóle!

Po prostu zrób to co ci napisałem. Sprawdź czy mnożenie takich specyficznych macierzy jest przemienne.

tak jest przemienne

Jeszcze jakieś warunki musi spełniać?

Ok teraz już rozumiem z tym elementem neutralnym dziękuję

To fajnie. Trudno pisemnie to wytłumaczyć - dużo pisania.