forum.zadania.info

1. obliczyć całkę:
\(\int_{0}^{2 \pi } e^{2x} sin^2xdx\)
wynik powinien wyjść taki:
I=\(\frac{1}{8}e^{2x}(2-sin2x-cos2x)\) w granichach całkowania od 0 do \(\frac{1}{2} \pi=\frac{1}{8} (3 e^{ \pi} -1)\) pomoze ktos rozwiazać? bo niestety mi nie wychodzi :/ cos robie źle, poniewaz wynik mi się trochę rózni...

2. Obliczyc długość łuku spirali Archimedesa r=aθ, a>0, w przedziale\(0\le θ \le 1\)

nie mam pojęcia, jak to zrobić :/ pomoże ktoś? w internecie widziałam rozwiazanie podobnej całki wzorem eulera, niestety nie miałam tego na zajeciach... można to obliczyc inna metoda?

ad 1. Dwa razy przez części i wzór na \(\cos 2x\)
\(\int e^{2x}\sin^2xdx= \begin{vmatrix} u=\sin^2x & du=\sin2x dx\\ dv=e^{2x}dx&v= \frac{1}{2}e^{2x} \end{vmatrix}= \frac{1}{2}e^{2x}\sin^2x- \frac{1}{2}\int e^{2x}\sin 2x dx = \\=\begin{vmatrix} u=\sin2x&du=2\cos2x dx\\dv=e^{2x}&v= \frac{1}{2}e^{2x} \end{vmatrix}= \frac{1}{2}e^{2x}\sin^2x- \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}e^{2x}\sin2x-\int e^{2x}\cos2xdx \right]=\\
= \frac{1}{2}e^{2x}\sin^2x- \frac{1}{4}e^{2x}\sin2x+ \frac{1}{2}\int e^{2x}(1-2\sin^2x)dx\)
Czyli

• \(\int e^{2x}\sin^2xdx=\frac{1}{2}e^{2x}\sin^2x- \frac{1}{4}e^{2x}\sin2x+ \frac{1}{4}e^{2x}-\int e^{2x}\sin^2xdx\)

Stąd

• \(2\int e^{2x}\sin^2xdx=\frac{1}{2}e^{2x}\sin^2x- \frac{1}{4}e^{2x}\sin2x+ \frac{1}{4}e^{2x} /:2\\
  \int e^{2x}\sin^2xdx=\frac{1}{4}e^{2x}\sin^2x- \frac{1}{8}e^{2x}\sin2x+ \frac{1}{8}e^{2x}\)

Nie wygląda to tak jak w twojej odpowiedzi, ale różniczkując można sprawdzić (sprawdziłem, polecam!), że jest OK.

Jeśli chodzi o spiralę, to poszukaj wzoru na długość łuku danego parametrycznie. Dojdziesz do całki \(\int \sqrt{x^2+1}dx\).
Ona jest w necie - tu masz link do całki.
Już raz o to pytałaś.
Długość krzywej \(L=r(\theta),\,\, \theta\in [\theta_1,\theta_2]\) dana jest wzorem \(|L|= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2]}d\theta\)