forum.zadania.info

Czy przekształcenie φ(x,y,z) = (x + y,x−y,x + z) jest izomorfizmem?

Niech \(T:V\to W\) będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni \(V\) z bazą \((v_1,\ldots,v_n)\). Wtedy

• \(T\) jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy układ \((T(v_1),\ldots,T(v_n))\) jest bazą \(W\)

Tutaj \(\varphi: \rr^3\to\rr^3\). Niech \(\left\{ (1,0,0),\,\,(0,1,0),\,\,(0,0,1)\right\}\) będzie bazą.
Wtedy \(\,\,\,\varphi(1,0,0)=(1,1,1),\quad \varphi(0,1,0)=(1,-1,0),\quad \varphi(0,0,1)=(0,0,1)\).
Ponieważ \(\det \begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}=-2\neq0\), więc wektory \(\varphi(1,0,0),\,\,\varphi(0,1,0),\,\, \varphi(0,01)\) stanowią bazę przestrzeni \(\rr^3\). Zgodnie z twierdzeniem powyżej, \(\varphi\) jest izomorfizmem.