forum.zadania.info

Sprawdź czy podane normy \(\parallel \cdot \parallel _1, \parallel \cdot \parallel _2\) są równoważne?:
\(\parallel \left\{ x_k\right\} \parallel _1=sup_{k \in \mathbb{N}} \begin{vmatrix} x_k \end{vmatrix}+ \Lim_{k\to \infty }\begin{vmatrix} x_k \end{vmatrix} ,
\parallel \left\{ xk \right\} \parallel _2=2 \cdot sup_{k \in \mathbb{N}} \begin{vmatrix} x_k \end{vmatrix}\) w C.

i mam następującą definicję: X- przestrzeń linowa,
\(\parallel \cdot \parallel _1,\parallel \cdot \parallel _2\) to normy w X,
-normy te są równoważne\(\iff \forall_{(x_n)\subset X} \forall_{x\in X} [\parallel x_n-x \parallel_1 \rightarrow 0 \iff \parallel x_n-x \parallel_2\rightarrow 0]\)
-normy te są rownoważne \(\iff \exists_{C_1, C_2>0} \forall_{x\in X} C_1\parallel x \parallel _1 \le \parallel x \parallel _2\le C_2 \parallel x \parallel _2\)