forum.zadania.info

Oblicz całki
\(1) \int_{}^{} 3( \frac{7}{x} +2e^x-6^x)dx\)
\(2) \int_{}^{} (-2)( \frac{3}{x^2} +9^x-5e^x+4 \sin x)dx\)
\(3) \int_{}^{} (8 \sqrt{x^3} -2 \sqrt{x} )dx\)
\(4) \frac{5x^3+5x+6}{1+x^2} dx\)
\(5) \frac{(1+x)^2}{x*(1+x^2)} dx\)
metodą podstawiania \(6) \int_{}^{} \frac{7}{2x^2+5} dx\)

1)
\(=3(7lnx+2e^x- \frac{1}{ln 6} \cdot 6^x)\)
2)
\(=(-2)( \frac{-3}{x}+ \frac{1}{ln 9} \cdot 9^x-5e^x-4cosx)\)
3)
\(\int_{}^{} x^ndx= \frac{1}{n+1}x^{n+1}\)
\(\int_{}^{} \sqrt{x}dx= \int_{}^{} x^{ \frac{1}{2} }dx= \frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2} }= \frac{2}{3} \sqrt{x^3}\)
Podobnie całka z pierwiastka trzeciego stopnia.

\(4) \int_{}^{}\frac{5x^3+5x+6}{1+x^2} dx= ...\)
Ponieważ stopień licznika jest większy niż mianownika to wpierw dzielisz te wielomiany

\(5) \int_{}^{} \frac{(1+x)^2}{x*(1+x^2)} dx= \int_{}^{} \left( \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \right)=...\)
Masz rozkład na ułamki proste.


\(6) \int_{}^{} \frac{7}{2x^2+5} dx= \int_{}^{} \frac{7}{5( (\frac{x \sqrt{2} }{ \sqrt{5} })^2+1) }dx=...\)

Co Ci wyszło?

kerajs pisze:\(4) \int_{}^{}\frac{5x^3+5x+6}{1+x^2} dx= ...\)
Ponieważ stopień licznika jest większy niż mianownika to wpierw dzielisz te wielomiany

\(5) \int_{}^{} \frac{(1+x)^2}{x*(1+x^2)} dx= \int_{}^{} \left( \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \right)=...\)
Masz rozkład na ułamki proste.


\(6) \int_{}^{} \frac{7}{2x^2+5} dx= \int_{}^{} \frac{7}{5( (\frac{x \sqrt{2} }{ \sqrt{5} })^2+1) }dx=...\)

Co Ci wyszło?

4) \(\frac{5x^2}{2} +6arctgx+C\)
5) \(ln|x|+x+C\)
a jak zrobić 6 podstawianiem?

4.
OK
5.
\(\int \frac{(x+1)^2}{x(x^2+1)}dx=\int \frac{x^2+2x+1}{x(x^2+1)}dx=\int (\frac{1}{x}+ \frac{2}{1+x^2} )dx=....\)
6.
\(...= \left[ t= \frac{ \sqrt{2}x }{ \sqrt{5} } \So dt=\frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{5} }dx \right]=\int \frac{7}{5(t^2+1)} \cdot \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{2} }dx=\frac{7}{ \sqrt{10} }\int \frac{dt}{t^2+1}=\)
\(= \frac{7}{ \sqrt{10} }\arctg t+C= \frac{7}{ \sqrt{10} }\arctg \frac{ \sqrt{2}x }{ \sqrt{5}} +C\)

kerajs pisze: 5.
\(=\int (\frac{1}{x}+ \frac{2}{1+x^2} )dx=....\)

czy mogę prosić o rozpisanie skąd się to wzięło?

mochel pisze:

kerajs pisze: 5.
\(=\int (\frac{1}{x}+ \frac{2}{1+x^2} )dx=....\)

czy mogę prosić o rozpisanie skąd się to wzięło?

rozkład na ułamki proste

\(\frac{x^2+2x+1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\\
x^2+2x+1=Ax^2+A+Bx^2+Cx\\
A=1\\
C=2\\
A+B=1\So B=0\\
\frac{x^2+2x+1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2+1}\)

mochel pisze:5.
\(=\int (\frac{1}{x}+ \frac{2}{1+x^2} )dx=....\)
czy mogę prosić o rozpisanie skąd się to wzięło?

Akurat tu, można było szybciej rozłożyć tak:
\(\frac{x^2+2x+1}{x(1+x^2)}= \frac{x^2+1}{x(1+x^2)}+ \frac{2x}{x(1+x^2)}= \frac{1}{x}+ \frac{2}{1+x^2}\)
Ale odradzam uczenia się takich skrótów.

kerajs pisze:4.
OK
5.
\(\int \frac{(x+1)^2}{x(x^2+1)}dx=\int \frac{x^2+2x+1}{x(x^2+1)}dx=\int (\frac{1}{x}+ \frac{2}{1+x^2} )dx=....\)
6.
\(...= \left[ t= \frac{ \sqrt{2}x }{ \sqrt{5} } \So dt=\frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{5} }dx \right]=\int \frac{7}{5(t^2+1)} \cdot \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{2} }dx=\frac{7}{ \sqrt{10} }\int \frac{dt}{t^2+1}=\)
\(= \frac{7}{ \sqrt{10} }\arctg t+C= \frac{7}{ \sqrt{10} }\arctg \frac{ \sqrt{2}x }{ \sqrt{5}} +C\)

czy można to też zrobić w ten sposób:
podstawiam \(2x^2+5=t \to 4xdx=dt \to xdx= \frac{1}{4} dt\)
\(\int_{}^{} \frac{7}{2x^2+5} dx= \int_{}^{} \frac{7dt}{t} = \frac{1}{28} ln|2x^2+5|+C\)

mochel pisze: podstawiam \(2x^2+5=t \to 4xdx=dt \to xdx= \frac{1}{4} dt\)
\(\int_{}^{} \frac{7}{2x^2+5} dx= \int_{}^{} \frac{7dt}{t} = \frac{1}{28} ln|2x^2+5|+C\)

\


nie można bo według Twojego podstawienia \(dx=\frac{0,25dt}{x}\)