forum.zadania.info

Miara kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi \(\beta\). Wykaż, że cosinus kąta między ściana boczną tego ostrosłupa a jego podstawą jest równy \(\sqrt{- \cos \beta }\). Kąt \(\beta\) jest oczywiście rozwarty.

Przyjmuję : \(a\) --długość krawędzi podstawy ostregosłupa
\(b\) --długość krawędzi bocznej
\(h\) ---wysokość ściany bocznej opuszczona na bok \(b\)
\(d\) ---wysokość ściany bocznej opuszczona na bok \(a\)
...............................................................................................
Wtedy : \(a \cdot d=b \cdot h\) ( równość pól ---ściana boczna )
\((a \sqrt{2} )^2=2h^2-2h^2 \cos \beta\) : tw kosinusów dla \(\Delta\) będącego scianą boczną
stąd \((\frac{a}{h})^2=1- \cos \beta\)
\(\cos \alpha =\frac{a}{2 \cdot d}\) --kosinus między scianą a podstawą
\(d^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\) --pitagoras dla ściany bocznej
...............................................................................................
\(b=\frac{a \cdot d}{h}\)

\(d^2+(\frac{a}{2})^2=b^2=( \frac{a \cdot d}{h} )^2 =d^2 \cdot ( \frac{a}{h})^2\) : dzielę obustronnie przez \(d^2\)
\(1+ (\frac{a}{2d})^2 = ( \frac{a}{h})^2\)
\(1+( \cos \alpha )^2= ( \frac{a}{h})^2 = 1- \cos \beta\)

stąd \(\\) \(( \cos \alpha )^2 =- \cos \beta\)

Dałbyś radę udowodnić jakoś, że kąt \(\beta\) jest rozwarty?

Fakt : Ściana boczna tego ostrosłupa jest \(\Delta\) równoramiennym ostrokątnym( kąt ostry przy wierzchołku ).
Bo suma czterech takich przystających kątów przy wierzchołku ostrosłupa jest mniejsza niż \(360 ^\circ\)
..............................................................................................
Teraz \(2a^2=2h^2(1- \cos \beta )\)
Stąd \(\\)\(\cos \beta = \frac{(h-a)(h+a)}{h^2}\)
............................................................................................
Skoro ściana boczna jest \(\Delta\) ostrokątnym ( równoramiennym ) to
\(h<a\) czyli \(\\) \(h-a<0\) czyli \(\\)\(\cos \beta <0\) \(\\) \(\\)bo są to odpowiednio przyprostokątna , przeciwprostokątna w \(\Delta\) zawartym w ścianie bocznej ( tu interweniuje . że cała ściana boczna to \(\Delta\) ostrokątny ) .

Pięknie to zrobiłeś Dziękuję

Ale zastanawiam się, czy wysokość wypuszczona z wierzchołka podstawy dowolnego trójkąta nie jest zawsze krótsza od podstawy (poza jednym z ułożeń trójkąta prostokątnego), zatem wywód, że ściana boczna jest trójkątem ostrokątnym jest zbędny. Co o tym sądzisz? Męczy mnie to zadanie już drugi dzień i chciałbym mieć jasność do końca długiego weekendu