forum.zadania.info

Opisz równaniem krzywą, która jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od dwóch danych okręgów:
\(x^2+y^2=1\) oraz \(x^2+(y-4)^2=4\) Naszkicuj tę krzywą.

Niech \(P=(x,y)\) punkt na krzywej oraz \(O_1\) i \(O_2\) odpowiednio środki podanych okręgów.
Najpierw zrób rysunek i zauważ, że \(|O_1P|-1=|O_2P|-2\). Dalej już prosto.

Niestety dla mnie dalej nie jest prosto
\(\sqrt{x^2+y^2}+1=\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
Obustronie do kwadratu
\(x^2+y^2+2 \sqrt{x^2+y^2}+1=x^2+y^2-8y+16\)
\(2 \sqrt{x^2+y^2}=-8y+15\)
\(4 x^2+4y^2=64y^2-240y+225\)

Jeśli to jest ok to co dalej

Jeszcze mam do zrobienia takie zadanie:
Określ równaniem zbiór środków wszystkich okręgów przechodzących przez punkt (3,0)
i wewnętrznie stycznych do okręgu \(x^2+y^2=25\)

Przekształcając to co napisał @kacper218, mamy \(|OP_2|-|OP_1|=1\), czyli jest to zbiór punktów, których różnica odległości od dwóch ustalonych punktów jest stała i równa 1. Toż to definicja hiperboli, no nie?
Ponieważ ogniska są na osi y, to mamy do czynienia z hiperbolą sprzężoną .
O ile dobrze przekształciłeś te pierwiastki, to

\(4 x^2+4y^2=64y^2-240y+225 \iff 4x^2+4y^2-64y^2+240y=225 \iff 4x^2-60(y^2-4y)=225\\
4x^2-60(y-2)^2+240=225 \iff 4x^2-60(y-2)^2=-15 /:(-15) \iff \frac{(y-2)^2}{0,25} - \frac{x^2}{3,75}=1\)

Wykres jest taki jak należało przypuszczać:

\(O=(x_o,y_o)\) to środek szukanego okręgu o równaniu \((x-x_o)^2+(y-y_o)^2=r^2\)
Punkt (3,0) ma leżeć na tym okręgu, więc \(\,\,r^2=(3-x_o)^2+y^2_o\)
Wewnętrzna styczność oznacza, że \(5-r=|OO_1|= \sqrt{x^2_o+y^2_o} \iff r=5-\sqrt{x^2_o+y^2_o}\\ r^2=25-10\sqrt{x^2_o+y^2_o}+x^2_o+y^2_o\)
Pomińmy indeksy, połączmy równania, a otrzymamy \((3-x)^2+y^2=25-10 \sqrt{x^2+y^2}+x^2+y^2\)


Mi wyszła elipsa \(\frac{(x+1,5)^2}{6,25} + \frac{y^2}{4} =1\)