Dzielniki normalne
: 13 kwie 2017, 15:16
Wyznaczyć wszystkie dzielniki normalne grupy D5: {72 stopni, 144 stopni, 216 stopni, 298 stopni, s symetrii}
Treść zadania jest niechlujnie zapisana ale nie o to chodzi.
Mamy grupę dihedralną D5, czyli obroty generowane przez obrót R i symetrie, jedna z nich F. Czyli mamy elementy
\(e, R, R^2, R^3, R^4, F, FR, FR^2, FR^3, FR^4\) i relacje między nimi m.in. :
\(R^5=1, F^2=1, RF = FR^{-1}\)
Podgrupa \(H\) jest podgrupą normalną o ile jest sumą klas sprzężoności elementów grupy. Klasy sprzężoności łatwo wyznaczyć korzystając powyższych relacji są następujące:
\(\{ e\}, \{ R, R^{-1} \}, \{ R^2, R^{-2} \}, \ldots\)
oraz klasa zawierająca wszystkie symetrie
Jeśli H zawiera jakąś symetrię to zawiera je wszystkie oprócz tego musi zawierać jeszcze \(e\) czyli już mamy więcej niż połowę elementów, zatem \(H=D5\)
Jeśli H nie zawiera symetrii to jest podgrupą cyklicznej grupy obrotów