Jak poprawić poniższe rozumowanie?
\((\frac{a+b}{b})^{m+1}+ (\frac{a+b}{a} )^{m+1}-2 (\frac{a+b}{b})^{m}-2 (\frac{a+b}{a})^{m}=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a+b}{b}-2)+(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot (\frac{a+b}{a}-2)= \\ =
(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot (\frac{a+b}{b}-2+\frac{a+b}{a}-2)=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a}{b}+1-2+1+ \frac{b}{a}-2)=
(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2) \ge 0\)
poprawienie błędu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 305
- Rejestracja: 11 paź 2014, 16:14
- Podziękowania: 65 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: poprawienie błędu
RaczejFikiMiki94 pisze:Jak poprawić poniższe rozumowanie?
\((\frac{a+b}{b})^{m+1}+ (\frac{a+b}{a} )^{m+1}-2 (\frac{a+b}{b})^{m}-2 (\frac{a+b}{a})^{m}=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a+b}{b}-2)+(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot (\frac{a+b}{a}-2)=\)
\((\frac{a+b}{b})^{m+1}+ (\frac{a+b}{a} )^{m+1}-2 (\frac{a+b}{b})^{m}-2 (\frac{a+b}{a})^{m}=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot ( \frac{a+b}{b}-2)+(\frac{a+b}{a})^{m} \cdot (\frac{a+b}{a}-2)=\)
Potem:
\(=(\frac{a+b}{b})^{m} \cdot \frac{a-b}{b}+(\frac{a+b}{a})^{m} \cdot \frac{-a+b}{a}=
(a+b)^m(a-b) \left[ \frac{1}{b^{m+1}} - \frac{1}{a^{m+1}} \right]=\\= \frac{1}{ab}( \frac{a+b}{ab})^m(a-b)(a^{m+1}-b^{m+1}) =\frac{1}{ab}( \frac{a+b}{ab})^m(a-b)^2( \sum_{i=0}^{m}a^{m-i}b^i) \ge 0\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 305
- Rejestracja: 11 paź 2014, 16:14
- Podziękowania: 65 razy
-
- Stały bywalec
- Posty: 305
- Rejestracja: 11 paź 2014, 16:14
- Podziękowania: 65 razy