forum.zadania.info

Proszę pomóżcie w rozwiązaniu zadanka z matury rozszerzonej:

Oblicz najmniejsze możliwe pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości równej \(\frac{4 \sqrt{}2 }{3}\).

Moje nieudolne próby:
\(V= \frac{a^2 \cdot H}{3}\)
pole boczne: \(P_b=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot h \cdot a=2ha\) gdzie a-krawędź podstawy, h-wysokość ściany bocznej
\(H^2+ \frac{1}{2} a^2=h^2\)

... i co dalej ?

\(\frac{1}{3}a^2\cdot H = \frac{4 \sqrt{2} }{3}\)
\(H^2 = \frac{32}{a^4}\)
\(P_b = 2ah = 2a \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4} } = 2a \sqrt{\frac{32}{a^4} + \frac{a^2}{4} } = 2\sqrt{\frac{32}{a^2} + \frac{a^4}{4} }\)
zbadamy funkcję \(f(a) = \frac{32}{a^2} + \frac{a^4}{4}\)

\(f'(a) = \frac{-64}{a^3} + a^3 = \frac{a^6 -64}{a^3} = \frac{(a^3 -8)(a^3+8)}{a^3}\)
\(a>0\) czyli o znaku pochodnej decyduje wyrażenie \(a^3 -8\)

wychodzi, że \(P_b\) najmniejsze dla \(a=2\)

Wszystko jasne ! Wielkie dzięki za nocne wsparcie !