forum.zadania.info

Cześć, może mnie ktoś jakoś naprowadzić jak zacząć z tym zadaniem?

Wykazać, że \(\frac{ \sin 2x}{1+ \cos 2x} * \frac{ \cos x}{1+ \cos x} = \tg \frac{1}{2} x\)

Dzięki!

\(L= \frac{sin2x}{1+cos2x}* \frac{cosx}{1+cosx} = \frac{2sinx cosx\cdot cosx}{(1+2cos^2x-1)(1+cosx)}= \frac{2sinx cos^2x}{2cos^2x(1+cosx)}=\\= \frac{sinxcos^2x}{cos^2x(1+cosx)}= \frac{sinx}{1+cosx} \cdot \frac{1-cosx}{1-cosx}= \frac{sinx(1-cosx)}{1-cos^2x}=\\= \frac{sinx(1-cosx)}{sin^2x}= \frac{1-cosx}{sinx}=tg( \frac{x}{2})\)
Dopisz założenia,że żaden mianownik nie jest zerem.

Dzięki za odpowiedź i przypomnienie o założeniach.

Galen pisze:\(\frac{1-cosx}{sinx}=tg( \frac{x}{2})\)

Mógłbyś jeszcze rozpisać jak z tego wziąć tg 1/2x?

Podstaw \(x=2 \cdot \frac{x}{2}\) i zastosuj wzory na sin oraz cos podwojonego argumentu...
\(\frac{1-cos(2 \cdot \frac{x}{2}) }{sin(2\cdot \frac{x}{2}) }= \frac{1-(1-2sin^2( \frac{x}{2} ))}{2sin( \frac{x}{2} )cos( \frac{x}{2} )}=\\= \frac{2sin^2{ \frac{x}{2} }}{2sin{ \frac{x}{2} }cos{ \frac{x}{2} }}= \frac{sin{ \frac{x}{2} }}{cos{ \frac{x}{2} }}=tg{ \frac{x}{2} }\)

Wszystko jasne, dziękuję bardzo!